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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
; [0 s4 d* f0 a" P4 K
( ?$ u" N% r* r) u最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
3 K  _' |8 ^, f( N4 F) N+ ~( _' p/ J. @6 c( X2 s0 p
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
- D2 j8 Q. b& @* [* R* _% a
* O3 ]- D# \8 E% ?& N& \% A1 Y电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
) v7 `3 e4 @% L' S. s
3 `' u5 H; n, Q! Q: x3 U3 s: [- U

/ W5 O4 F9 R/ P3 E翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
1 y# S7 [" M: @( N
: w7 O. h$ T1 Z& ^8 m4 }
7 c2 R- h. g( i* u8 p8 i* G5 w# g5 f5 k) [
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
$ S6 ]$ [2 N0 M0 V3 x# j# j6 C9 B' _6 O- t  V8 @1 U. A' ?
; x& g5 s& w3 j3 p3 @8 L3 g

+ d# K( C* z8 ]数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。5 j. h3 {+ x$ g, m5 N& s
) p0 K. k6 m# ?

# y6 }5 x/ G" y& n( D$ h8 `- P, K: C5 @0 c, f
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
5 e$ }: q  Y2 ]) u8 E6 @" X3 N
4 L0 c( k9 g( s4 Z9 b拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。5 T8 q6 J8 Q5 ~- S

+ a# ?6 i( m- B% A5 m% C. N, `, x& T
5 T6 P1 X( X* ~
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
# v' F" J: D& w7 T: Y! N: ^' Z+ r
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来, b! H3 a  V3 e7 V; B8 h% V
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
: ?4 r+ v4 C& z, J1 r高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
/ n7 X0 y9 @, E4 u
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40* q2 ?; V/ g. q$ h) w, T! z  [: Y
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

& q$ d3 X: n" m" l3 E, [0 ]对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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