爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
# b0 a5 n, S- @$ m4 s; [' z
6 J& `8 m) G6 s' @最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
# N4 _6 u  ^! y8 v' s: w; e! B; W. @2 u! a3 z2 ^; S. }# y
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
/ l( ?5 `) D3 J& `- `* g# n2 S4 }! t: Z3 o9 c) e- V+ C
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
0 h6 S9 K9 r0 [0 |) C
+ a% g7 A. [  c% c6 n+ z. k' @, [- j( p
# u4 y9 g5 |" ?/ ~% {4 e
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
/ F4 F, L' m+ s$ l  Y
5 l/ ~* m3 v( ]9 A. z4 ~7 l# t- h! y3 h

9 {# Z7 D1 a9 [) u$ Q" P, D. x; w/ X不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
4 `" B: X: e  ~2 G) {
* S% m% L' S; G( A* B  ^' `6 F7 B% L
5 C" b, h: l6 @9 q( O! s) [' m+ T& ]  Y  s. l- f3 x7 {8 X
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
, w5 ~6 N# ?3 b, q0 m: W, z" h. |7 P6 ?

1 o' q# i! p; b1 f% r0 s9 Z4 a; \) D+ b" D/ S" Y
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
7 H! ]& L0 o3 R& O2 m8 C3 R0 ~( X, w
  X6 R+ `4 ?# f! k' f拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。" P, ]2 |5 U+ J% {# Z

" l; J% u! E3 k; T* P5 ?5 F2 r; z( D" [+ T% f

" ^0 \  C: H% ~7 ]; e& |指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
3 P$ h4 k: X( j7 r0 {  o4 E4 b" r1 i2 s5 J$ N+ X
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来$ R! L9 p' R9 i; ?8 G5 r+ _  h
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
2 X* T1 Z3 U" p" i/ u0 q3 w高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
9 ]; p% W! t0 |3 n, y" m1 S0 H
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
' z" V4 V+ ~) u3 d. a6 L4 x$ {% Q又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
( s9 G5 R+ j3 C9 P  @' U* b
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/) Powered by Discuz! X3.2