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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 9 X' q# _5 z3 N4 z' k5 V
1 f- a: D. X/ b* M
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
. }9 b. `% J3 S4 _; H; A7 K. {1 y9 n) D$ o8 D. k
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。/ B, e2 U% W  g
9 V8 l. T8 f' M! n
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？) R3 u3 C: D# J9 j
: ~) L* Y& {) I  T. y9 K
$ Y! z5 k2 h1 |: W3 Q( l2 Q
- p* F& W$ W4 G: i
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
2 c1 |$ }7 C# O6 a) T
# [% U% D, q% O% B6 S& I
$ p& ~/ H# @: S* @$ s8 i& V& c
, |  Z% `0 V0 @- D不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
, k' z- h/ Z8 j& d8 f& x  p* V- f1 L* O
! K& A+ p! l( r& A% `( ~# y3 s* f  ?" B9 p4 t; Y

/ t( W' A* S0 `: q9 {/ F, C, x数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。7 M- ~% J# C$ l/ T
' x+ h- e- `$ o5 _% i. W& u% S  [

) s0 N/ m  U1 ?+ W7 r  {, h/ w
5 r8 g" ~: t% g$ ?傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
) b5 S) ?9 G4 H9 H- J3 Z, X  ?" q0 n% D
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
* V1 D; ]4 L1 @! j8 f1 K5 l* {+ p2 g( P$ {/ V
7 W/ u" Q  i. n+ D# b3 x

' m) s1 Q+ p9 L  ~0 t指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。; z8 @# T, d" u! `: I" B/ I. c* M

( q" Z2 z" M7 ?# @! A" N3 `有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
- |  s6 e0 m: {+ L  K8 k$ [3 t* Y& l以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:058 j. k2 ?' z0 r
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
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对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40! C7 |5 r( @6 o0 k( W% J+ P+ z4 a! s
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
4 t! m; A! z/ Z! n( M
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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