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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换


最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

0 A  Z0 L% r- Y# u2 a8 S# A0 V众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
, C6 B% }. o: F6 c1 x9 `
" H! H" H+ K: B! M$ j  b; y电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
9 _6 p) B* f5 s! R1 z: L& k

4 z# \' O" z+ B: j; _  ~
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
* {/ D; s, ]) b) B
+ @5 U; W. |* t6 ^- l! N
0 u5 P! @5 ^8 w+ V$ S- c# Z5 v
; `( n8 ]- y0 Y( |0 g不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
' F1 A1 ]" l' E& W4 f

" c4 E* J. Y- g( x+ }
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

5 H/ Y! x# P3 s! g$ S
% {' G" K& |6 s
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
5 n+ W$ N7 Z: `; k; T( a, V, V+ }
) h1 X, A# q9 f& L, K, b拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。



指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

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作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
$ f  e2 b# c( c6 n- e9 I以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
9 h: K! A, @* P/ Y" D高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

& \, J, \( F+ S) D对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

# G* c$ w6 F) T, d6 j) u对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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