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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 % W' a* Y" i+ G# d# R& p# G

! P) h& c3 F& e$ `最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
( l  y' J  d4 L; u! w$ H
& g' m- B3 @) W2 N# f8 A$ d% j+ F众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。$ p$ W6 y. {. n6 k: S1 {

: {! p4 k4 ?  w电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？# M/ Y" l: s2 e7 j( M% \( u6 y

0 o# H6 z4 I; t+ e# c$ f! U0 r$ E7 _8 _1 j1 I

/ d: `" i+ _/ F! d: {翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
- D+ I* u( `: M2 c' U: B- g$ @- u% N7 @

/ S# ]) ~  m( ]+ V+ K' C
+ e  I* S$ c5 E# K( l" T) X: N不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法( I5 r8 A9 w% K/ H/ H2 E9 G' G
* v4 h& \' H  {$ a: ^$ r$ H
$ u; k2 a6 f: X
# A  q, l( [" g7 B' t4 S4 u
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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9 \% p3 G- e7 D8 P
/ _! x& c+ S" D. c' W
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
% e  [7 O/ z% b/ N( {5 O; a4 @! p2 N6 ?. A, N/ e& `2 r& T
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
2 g/ t2 T  M* T; V( x
! c* y# v9 {# O, |- l0 P+ w, c" w4 ~' c' D, ~+ s/ ~

4 q+ j0 n6 W. X指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。' c' t4 j2 v. \
3 _) o7 w2 H+ C. `/ J' b
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
6 B0 ^9 y7 l) P" e$ N4 R" L以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05, ?  z4 f* W( K- T
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
/ K: `! k6 k2 r* a8 [
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
% @1 h7 U) w5 q0 v( @又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
- d9 }& J2 k# D* S( @
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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