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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 4 z, q$ E4 _9 D- r% L2 x  g

# h6 t3 g6 c' q' l. x6 g" }% N3 }最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。% C& G( ?5 ?/ o4 X* |

: A+ Y$ i4 @( d* n2 @4 B0 Z$ r众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。2 q$ H" p& L# R6 L- ^0 L
$ h0 `% G/ b$ f4 x% q: Y5 X4 e
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？$ I) I. D' x4 o. b1 `" M9 p

: |. J: G: t4 C: ?, O- c8 s
! h- F$ ~% ?$ v# _2 V! o. T& ]5 u/ g$ B, }9 b: G  z
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
8 X1 X" y% h% q: u
6 c; H0 w3 I9 m# p; q$ {) Q8 F; {' g' J' N8 M

; t2 B+ Z) w" g: W# v不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
+ l: g1 M/ A* k4 q
; b: {; S8 \3 D% y/ Q% Z! U1 Y) Y: n
9 L! h: u2 ^4 P9 d
8 O* u, a* I. g8 g0 h# o! a" r数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
' u; N6 O8 g" h- N) C" v
% ]0 @( W4 g8 Z1 v7 I3 a" j: P3 A' R( ^/ y) h" G1 Y- ~

7 i! o( J) ^7 F1 q2 w; Z! c傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
2 ^* ^0 r4 Y. u) i" x  ]+ r+ _8 n$ q/ x! h
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
, R  D0 q' _; @& g& M4 W
* M- d0 g) K& O) R  H& _5 Y
' |; g$ [5 P; W3 `' d  X7 N4 d; C8 |" E4 ^
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
+ |) w; {/ T6 G% Q7 y" r2 D/ p& i" L3 @3 {8 W$ r
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
: d/ D, R+ B. n7 U8 O: L" {以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05- e6 j( Z6 p! ]- M& [! a
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
. q3 G" x3 I0 j
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
* ^6 e) {3 z$ y2 \3 ?+ ?又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

- E5 S7 G% [. L对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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