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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 5 `- Y8 w# |" S5 R
6 P$ p/ Q' ?$ H* e9 P% J
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
8 x1 j1 C* |3 x/ g+ r3 q0 Y5 C% n- u# ~3 h/ N" z: R8 d8 f3 N
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
5 [7 x$ b$ X" K! Y* k
  V& r2 g. H- l1 }电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？, ?  s: k& s# g  o6 C
9 G, v# u% V) d9 Y% B9 e1 M
! |- E. \% e/ z9 z; ~0 I: G
$ w$ k0 l1 Z; t( q
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& I. f3 a! c  \+ x* P) b7 A2 Y! S% l1 ?
) I* t, d) F6 T
' v1 X! V/ F4 t
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
. X6 A0 B! ?& k7 s" N7 O* A) T7 n# I$ }. L
1 v5 Q# y1 M6 x
9 u3 h2 i6 b6 n: x) f. o0 t9 E
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
& l- E: @: U; L" n+ s6 f7 R' j: v- H- s, r1 ~4 s2 I7 ]! q

& j  \$ `0 ^. r, y" G- {0 X/ o8 y& ?2 q6 X9 f
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？0 a6 e, Q$ s6 d# r# d, I3 c

5 f6 N% z# |, u拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。! o' m# q& v; j
& u+ a; I: I/ \

) E5 d; Q# l# M% N+ q2 R7 p5 x) s! R
+ C: s" N# L4 ^7 Y( z9 X  M指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
  l7 t, y' m* N& W1 h4 B: d/ T4 Q* v6 R7 q7 L" O: G3 z+ u1 \
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
9 h" g+ G: ^# \$ h; h+ y) h0 Z以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
3 e3 y2 M  t$ q/ T) s高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

# f- `/ \' _# `对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
3 V3 u9 W* H* {$ L3 y又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
" N$ q! D/ P+ I( Z9 R
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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