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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 8 P* @7 N& p( X

3 |' w0 h7 J4 b/ O' p! ?1 w最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。3 i, d% A6 w/ W2 j- P
4 ^: e3 c- C8 v; R. @2 \; |
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
, n6 q+ M( @6 K3 F9 o
8 q$ A% @* V9 P+ h& I电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？! D1 u- I2 T: V3 `4 Q& h0 @

+ K0 Y" ^' @; }+ r, }& ]' w0 B9 U3 s& T' @) n# o3 ^% ?
6 n8 P) y( W; G( t5 B8 J
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
; Z* _0 u  E4 T# H) I3 [& T: z
, a$ ?& u) D0 A" }6 B; Q& Q% c/ R! @4 w, E- A: d( r0 D

# O& P8 N6 Q9 {  g2 v( {4 k不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法  ]. ^, X3 H- A- N6 l
8 N: K! g2 n- v+ b7 ^

- p8 w' X4 }, s( _; t! _
, t9 L) q& R+ t. r. b数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。) O& g' Z# z0 U) ]  S
% Q6 D) d6 n  [" h- e; S& Z5 S5 d
' j( W3 q# T2 N; h" B
& U, X& J5 L1 K) Y4 T  x
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？0 w. V2 |3 a( \7 T
3 P& \3 g2 u0 Y6 M1 Q( u, {6 y* n8 u
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。: c- K8 N( g: z7 {$ a& y
4 d  Q1 k- B/ ?# c# h
' y9 m0 W1 {% }

$ j8 v: r, R8 ~( l7 g) p2 D$ P) S指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。6 k& T4 q6 ]1 g1 |( v4 W  R

' r, g" x1 l) E5 r2 Y! j有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来7 E3 l4 e2 d# F) Y% |
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05( M) e+ F9 j2 P" B) i1 }
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

0 A! u4 g, ^# [  z9 s8 E对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40. X# ]- O" ?, V$ W# P  A  H
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

, q! e+ [: C* S& a6 B2 m对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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