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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
1 H* g3 l& a5 `1 y* `: b! o+ v2 I3 H6 @7 g3 F
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
) X/ h. J  k0 s* E9 p. n, d. p5 G1 @( H3 X, X
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
$ l1 E. S0 o( o. L1 D3 f! s1 R3 M0 X# o8 V4 b: ?' X9 z, H2 Z
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？( ]& o$ h4 i3 r( U0 G

' [- g; T5 ?8 d" M; i9 K0 w; x& }3 V* Y6 |- b
6 r+ B1 _2 a% C6 h% X4 L  L
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
+ ~6 w- J* A7 a4 H1 L
* v2 E+ k! D- a
+ J9 L% m8 s2 F& p# ]: l1 P! u
6 ]; A. `2 Q1 F* T$ b不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
0 N8 k# \- e+ Y3 [, e$ _
. C7 X' o/ B4 V: G& x8 V% o0 b2 E* ]- S5 ^( @; Q) k
# d+ A1 S+ p  {: a" v4 m
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
1 \5 B  u7 {1 H. S: l3 `. |' x8 ~& T0 j* P+ f6 Q5 D: J

# l+ I( e/ A/ N- _
: g- m9 H' ^1 X* F4 }2 V傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
0 b9 I# @2 L) e, M8 n5 }
3 }, }* t9 r2 ^5 o7 c拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。! k# s. R" P9 X8 O

/ m- B- x7 l/ M% q. j( Q' M8 D7 O/ J5 d$ l
% s4 B2 J* G; x+ @
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
$ h$ x# E$ {2 Q* B  {, ]
. P3 d! I9 F& I1 M' I, `' \有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
5 R0 T8 H/ B/ d' B! [3 U$ [% K以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05# C0 P9 n- p4 O
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
8 B; y; u% ~1 c/ N  i' m* L
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40; K# m3 o, {8 D
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

4 q8 `6 n' ?! t2 o: k8 H对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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