爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 " @% i, @3 R% Z7 v
( l! m) G8 M( w2 V
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。% d+ Z6 X0 q) K8 j$ ^
; u' W5 Z5 m! y( q- G" O' ]9 W" x
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。7 t" j; ^& y( }. V* O

5 {5 Y$ x8 ^! C. h, t电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？& O9 @' r4 S' i( z. ?+ E7 R5 e
2 Q3 Q! e6 U, ]; D9 s9 [  v: K+ c

4 v; M* }4 d& C8 E5 @$ t# O  E& ]) K, \9 |
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& L  E% d0 G+ {# l( e* X9 g
8 H( d. J! ~2 c0 Q* g; I0 O: ~6 S, `  T
" \' X& p; b( ^- O' q$ P  \, c) I+ g
# S2 I- Q, v% _2 ?7 c8 [, X7 g' {不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法3 C$ t" P/ c% e7 k4 W) ?& o

$ q5 F; p) H! h% D, F4 t# Y2 v' X! C

7 U( P1 S. M" J; w0 I5 k数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
4 `3 L$ Y1 s5 H6 v/ f" T$ ?5 ?) I0 l' |1 j" I4 X# j0 v- G& a

& b; G; W6 D' g' r3 Q" o0 d( g
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？/ {" @2 B" w# N8 Q' P3 y7 M( W+ J# y
8 `8 |" _) r: f
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
# \. D6 p$ t: d. `/ S4 W- H+ u" o
7 P+ k( V2 p3 g4 h2 |' z6 |
% W  P% M0 h7 {0 r2 J7 `# `8 _- e; B( q" |. d( S& y$ d
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。3 D7 K/ t; D' _5 q9 p- Y1 O3 }

+ H  J3 W( S+ u- Q" S3 E有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
3 [" c, n' J: X$ }, R6 j% j以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05/ [! @6 x( t8 ~3 J5 p! l& g: t$ m
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

5 |  e& m+ `  x8 E4 U! r, l  {1 s对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40+ c: Q) m$ o. v4 t
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

+ ]  a3 u% a3 e对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/) Powered by Discuz! X3.2