爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 / q3 o2 t) G- Q4 e5 u0 e
* m* W" i. l" r6 V! `) b& O) Y
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。8 v* ^' Z+ b. f  ~  l! S7 n" f
4 o) n4 M4 @- r5 r7 h" F% T9 V* n+ J
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。$ C9 V, a8 w4 u% X
- z0 N1 \9 B! ?5 A
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？/ s  y' b& N8 Z  p8 V1 E

0 y% D: e& `7 u- w. {6 m6 g
4 Z( z' Y2 e3 X# E. R/ F: Y( T
. |8 X1 K$ I8 J( z, B翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
' ~) p, W- N' j7 j" v, f, k9 ?- e
: C2 h4 p& [8 t9 b$ P: t: P$ p2 A+ c# Z+ v' C
& c* N' `- u# X5 P" U% N( |' Z& y
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法# [3 x, u/ }" H5 ]2 q
* U; A- ?6 |9 }. `) j7 p! D

! Z6 R3 \; A( g3 T( s. I
1 M* T) z) n0 Z3 U: ^: t数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。6 f9 ~& v- ^% Y. ^

- n& O- u: H# k: K( ~% X/ D( w( o/ P7 F, ^  m( H% T1 d

7 Q" t) }3 C6 Y% }( }9 q3 P, F傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
3 W* O% z& K, ^' Z
5 S. ]" |" I7 j9 m, ?拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
+ P# x4 Q" z* p) O/ l3 b" s- x  l* x9 U" w* y! V
$ f6 W. \1 z! B( X5 @- I
2 s9 \+ }2 U- q  l9 [" v& w- D
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
; a2 W5 v4 t# c
) o  G! P' c. A" i. f2 h有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来7 ^( I+ U  B4 {6 c( L
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
9 M) O$ a4 x0 J5 E高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
( o: \- W8 I! J& Z) r4 ~* X
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40! Z* u/ D; X. B$ B0 B; O1 j
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

2 e5 |# S3 i: X& p: W对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/) Powered by Discuz! X3.2