爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ( T" ^4 D; Q5 w0 Z4 ?  b

, f$ L, B- [, h4 b5 M- i) I/ U最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。$ y! L; }6 ]/ |9 o# y; G- d9 X4 V
. K, c' h8 {/ g* `% m
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
- l9 ^1 V/ L  D  f7 B2 g% o5 e0 o2 f; F; @
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？2 p' k6 s4 S! ?) }! P
; J2 N8 U7 g( U9 H! D1 O3 u+ v

" |" M" g) l/ A. ]3 r' F- |" R
/ H6 Q8 y# K$ q  k. N; \' R1 |: l翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
; v; r. M# x8 D  J. j/ @! q! {3 t/ t" B3 P) V- E
. x/ E, F) r4 b
, ]& }' {8 O5 b7 D: F+ \, `
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法1 ~/ M; L& Z- Y5 Z8 T) M( ]  U
+ `/ z4 j) N& T4 ^3 u- B
! ^9 W3 B& [9 ^8 W1 I, g
" ~( y# ~1 s: S8 O6 S7 _  R
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。1 I, g* @* I- V# P8 G5 c; n1 l5 O/ S
. `" t5 w2 J6 j6 U+ }; D
, c  `: l2 x* V( n1 `
& h% \; ^- G  i( d& `, j" q0 Z
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
& W/ D' o# E4 c* \/ S. B
7 g2 D8 d; E" w2 l2 {6 Q拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
' K) I- K) _' P7 i& k8 c% a, V  x

4 @  \8 V" ^, T9 q
: m+ y* }, m! I指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。3 V$ m& z; |  \- L
  Y/ ?# K/ ]" H! F
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
' ^: n% `9 s5 P以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:050 v$ M7 N# E5 o$ P) b0 {
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
9 B* r4 h- B5 ^2 @% z$ E
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
2 T# s! U: K. ]0 Y8 U( q8 L( V( K又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

3 R% t$ ?4 {9 H( _" J; q9 r对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/) Powered by Discuz! X3.2