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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换

0 F, G' i- x! u
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
9 L4 k: F) Q* Q$ @8 {5 t' i7 u+ J- Z( O
( `. ^1 ~) c8 L& ]众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
% C. d, W. ~. q8 e/ C$ k! R
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



0 I1 s1 M% g+ _+ n$ z3 }翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
) Z5 m6 z; ]; Z. _5 K


9 V; |% I9 i# l! L; B; Y- K3 Y不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
8 P2 J( L& Q, @: I7 b+ c6 L+ ?# m
1 |! q! O. H! S' g$ j

. v8 Y+ ]/ D1 Y) t) l# O8 i数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

0 c$ ~9 O" D! A+ A& ]
/ n4 }3 H0 |2 ?+ d
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
: k& E# T; {0 s1 \1 s, Z  l
! {# V6 z( l6 |. R3 @$ J9 B拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
" }) i  ]3 Y0 o2 t8 |
; F( E. d$ o/ k5 I3 K* Q8 ~

5 Z3 T' Y8 X- S  V7 r4 \指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
* ^" ]) N7 }( ?0 O
" W1 i5 N! V1 V8 J有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

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作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
' g3 o( V/ }/ [/ T1 t0 w2 _以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

+ Y( T8 |# S# S7 V对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
& ?8 i6 H+ p0 u6 H- x又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

) R# j) i# ?3 k8 N' q; U# c对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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