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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
. J: @4 A/ Y; x* q
4 V4 e/ b4 o! b" f最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
: I1 K/ G- U8 {; L$ ^4 @
2 R- k1 B* @4 L+ {: r+ H. \' V众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。" @. U4 z) C+ p  p7 x) B  E: s( m

/ M& ~' H& P; b" @电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？; L3 _& ]6 J) i. R% n
) a5 d  ?' M# E1 n  {
+ ?  v7 t/ W+ L! }
! |! E/ D* A; Y* q& G/ Q
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：% P$ E1 n! W; d5 s# o- O# N  r
+ g! l% u" q/ y& H% h

+ p: K7 g/ J8 |1 @" l$ e, V+ V
4 U! j' p% W5 [: L& R" o. n不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
* E+ @' L6 _0 N1 A
3 ~- Y! k8 Q: V8 U% A9 T" G- s
* X+ x/ @, c' g+ V' Y- N
: D7 U  d  N9 o, J8 r# u* p) p数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。0 n4 q7 n& A( `4 ]1 e4 R4 l" M
2 Z, e0 s/ p6 j$ z+ v( x
2 O; z3 J( p2 X) W( @3 W
' ?& H8 B* J% c# V3 J* Q: }
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？2 o- m3 k" a$ V; q

. z7 N" k) G' F" q9 x拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
. H% [5 r/ B" G: l" c1 Q' X9 W: s% t3 t4 \

4 S) [2 W. U3 o4 ]
7 s9 Q, G9 g- f  X4 M1 t0 a- X指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。; u& W/ A3 }/ l+ z: {+ A9 t
0 X: G1 N6 r" k+ e! r3 z3 z
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
/ e$ c  q3 F9 h9 d- E: A以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05) ^/ M; ?- _' `
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

$ c0 l6 C- D6 c7 A对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
0 z) }7 a$ n" g$ Y3 z, k又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

! s. |% P  ^8 H! o对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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