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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
( j9 B  o6 m% [& G' O& k/ w8 S4 V) L# V$ n2 e: _0 I5 [- E2 h
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
- n& e- g/ ^  o' ?
$ W, `, q4 `. B. w$ K  M, @+ L众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
. V/ A) z. G. C  D- _
7 [( B1 f) m' ?& l) Z6 D电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？* l; w! N6 ~% Z) T# ]% n- T

1 o/ W7 {8 A) ]8 W/ T4 C
& R6 [* `. n6 N9 I! y  F, u4 F3 V0 @, H
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
* E! o1 d, I- q( N, j+ o- K0 l( M5 ]+ @. G: x, |

( O$ e; A: B7 R( ]; a0 v1 u
$ Z, d6 T4 ^8 d不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法; r/ i- y. n; f5 I
$ w2 M& F' K1 X

) T; f6 }' x- U' b0 Q$ V, D% k
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。, _4 D8 z$ _; {- S; I, S2 z

- |+ J5 }/ C0 L0 [. n6 s1 n) G8 l
) Y& j$ i) Y6 Y* _0 b3 ?3 ]: N/ O3 x
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
; j( L* G- ?; m- U% m1 c8 v$ N$ Z
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
, Y$ l* G8 K3 Q  H! |! B
" b  Q4 _2 ~5 w( L, d
5 b( S& p5 @, C
0 \" s+ g% a/ v指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
( y5 z* A2 `& f4 k7 y- v$ U6 T/ s2 Q$ R/ y- c
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来! O5 u# j. @8 ?: S, K
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
0 A2 w: L/ E& H1 s% O! N" x; ?高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
4 l! @% ?& L, D8 O, w
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40- s3 t7 c# E) K' c$ ~
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
7 h3 k9 M& A; h
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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