爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

---

作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换

. k6 n1 B8 v6 l$ A$ B; |3 O) |
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
. O1 H  K" j% S8 O" {- P
# m/ z/ G$ v  {) a4 H5 w众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
4 k! U" ^7 ?  S2 O
1 i$ Z7 d& A% t" }3 x
: X4 L$ X# F' n8 x. E: m8 Y, O+ b
0 Q7 ~( g3 n- N* M3 _' f翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
  U6 ^' }' J( q* t( T


: A2 _! d1 D5 x: u5 A6 f, g" ^不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
* B2 U' ^+ Q) O2 X  S; ^
" E. L9 D3 ^) B7 H7 e, A

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。



傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
" A8 G; H: Z0 w
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

; n: \* U3 a& ]5 B& K& z
( X3 j& s, t0 {( B9 v6 s" p- i# e
! {' d: F" M0 ~! M" I- q指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
% Y# g3 A7 b2 Q" L9 [% T
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

---

作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

---

作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

---

作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

7 n$ R5 M! z- M+ h4 }% t对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

---

作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

---

作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
# G* }% w- P& c' v又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

---

欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/)

Powered by Discuz! X3.2