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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 5 H2 s8 V( ?3 e6 p7 t, z

1 W& q+ c5 |1 U1 A! I最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。) T% T- t, _+ h7 R" y" M, s

( E/ Z3 {" |2 W; y, e6 G+ B众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。% P8 d2 W9 f" k( S# B9 n# v

$ U0 O. p" ?" W% n电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？% E2 U* {. ]' s, \3 `3 }' k! {  D) D. {

- l' i( Y; N- r, y* W) g4 ]: \8 D+ S- U

; g3 B+ I  @1 C$ F! U4 j( G翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
; V- S% c  M" P& |+ ?3 g1 g  ^6 b* z+ Z( `9 ?8 ~% y8 }; F" I  K

* b% {, @/ L6 h8 ^) A* x! ^
& ^0 G- m2 s% [3 I0 ?( x8 y. o不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法! _0 E3 R5 [1 J/ m4 e

" Y* E0 w  t6 |+ h% Z( \% p) B5 ]3 d) ~
5 U, i3 T. g9 f7 w6 L# r
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。6 x, T* l8 ]6 v! i$ u' o) @# B
" Q5 t" o, @) `9 Z9 e/ d  ^2 X

0 L1 c; e- y" J7 m5 B" o/ W4 S6 {9 q! I! v: L5 }
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
# q3 e& k' K! m9 }- s* Q# x2 n7 f# u/ Z' ~0 O
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。+ X7 `( W; g6 R9 v. t; C
# |  X3 E4 t( O3 l" A9 p
3 M/ j$ O' {  y. g. H- G" }0 U
* u5 I5 b- o8 b5 X- j
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。9 W  o4 m1 i6 ~3 b4 R# ]
4 t6 `% G+ j2 m8 \
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
% X7 Q  t4 u6 f9 n以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05+ p/ J! P  E( ]+ f8 c
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
, q! H8 P  b- p6 ]
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40  }8 Z* V0 _1 ~* ~" M
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
' Y8 K+ e6 E* z
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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