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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 3 e' U; q$ R6 X  J* N. p3 G: Z) T
9 w# M" x3 {- z, W7 q6 J: g
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。6 X" |! v% G  D3 m7 J
. i8 t* W  F9 c# C. u0 G; N  Z/ N
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。! `2 u! A6 i2 {- H* M' Y( W
* p: j4 z6 e, J. v
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？, t4 N" d, c$ L1 q
' K+ k5 {; F4 @5 w4 m

8 H- r) P8 _3 D
2 S/ i7 m& N3 m5 F2 z. r6 p$ C翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：4 M5 G% n6 S4 d+ ^/ ?- I1 e! k9 l
; o% k  [, x& _5 h( _* p; V

6 A- Y: P5 f% [0 a
5 ]2 M, V6 N' W, u0 ~不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
- G9 \3 q2 p. h( d" q
' b# m' r8 O4 n+ M- s; C: L/ n  a( T, L; a, P6 d2 s2 V; M
+ s2 y6 ~$ a& v0 I1 g' M1 U; |
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
' _+ B# R: G  ^1 M1 D, s
1 d+ Q6 w  g* t) g; y- ]
( [6 k5 \' q! @4 ^0 G5 A6 C, E. Y  L& g' k/ z+ `
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？; H4 f& ?2 F( u8 I3 Z: U; V

6 |5 e6 z, w5 m7 A: H拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
$ m% q* x) z  }
, K1 z) p2 k* G# q$ u2 r
# i& i* A) L  x8 }
, L4 c& k9 m5 O4 [$ {指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。$ T* ~7 q' z( Z9 v6 X1 S

8 K* c; @" X2 f1 b3 K有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
! p9 J# p) i6 R- E/ {5 x- [+ n以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:052 |7 A4 p5 _/ m+ P0 r
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
1 B' l# B: v, L2 d' _! ~5 g
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
6 m* s$ H& t- ]: f! u又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
- [; U  b. U& u1 Y' I# x. l
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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