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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 6 ]! Q4 f$ b6 }: }: ?4 `, C
! `: c6 y; H% }& W& q
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。# `( V* u. p2 r- C) \. M$ `& x

' M1 E4 q  g4 B8 R1 G: X6 t9 u众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。3 N8 }0 X  X6 R- C+ Y. o  q

: e) O, i& D) j0 o3 _2 @电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
4 \/ ?' C1 ^: k  U7 Y/ k* I' y% N8 N5 \3 }* D4 Z; P

  k1 @6 ^' o( L  l8 o4 e# t* y0 b9 P- h9 i
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
4 J( E2 n( N6 d# V" q5 s; u2 C- ?, E4 k1 K

& V+ a7 D8 T8 J% `
' T7 q) K7 m" W% H3 }不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
% ~$ ^4 U9 Q0 y4 Q! C# W
  P! j" Z, g: \
4 L- z9 e& Q9 e( v* `$ s2 c' C( e0 q$ `$ p) b8 X
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。; @2 M9 V. S$ i, u0 a4 F
# Z: q" }9 O3 o

$ `2 g! C( X3 |2 O: i4 f" F" K% w; W+ z0 r
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？5 N$ T+ |4 V8 U1 H- z. @; u
1 C& a; j1 `' U% Z
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。7 M4 O' N/ j$ a  }

# |  M2 k( p, m/ ^; H+ S4 a( k3 v: i9 b
/ \! f- G. ?6 E, n* l# g7 n. P: R0 ]
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
$ q# P9 R& K8 j, J6 J" o. l( L2 Y7 A& d0 h4 l4 ^, L9 x$ S$ c. Z7 ^
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
) {' \: x# D) M$ g" `以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05- ^  m# _, s5 z9 x) J
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
* q( N2 p) W. O
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
$ }6 f: ]- q, p  v% N5 n又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

! K( z9 ~. O1 c  D对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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