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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ! d2 C1 h7 [. z8 R( P
4 _6 ~( f- L; q9 D5 l- ?
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
% K8 O5 e8 X9 y, l# L) r' U1 m$ E5 P+ `3 s: B5 j0 O
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。& V4 u8 q+ z; Q5 E) C$ }+ Z1 S6 I. x3 O

6 U4 B" Q9 u8 A( n' q电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
% I" r4 T) K; A  c6 W, W5 v$ r: m2 A9 [2 p8 v5 ?8 n

" J0 X+ E6 C0 ~
( m9 o8 n  w1 Z# v翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
* D8 J, _' W( h/ c& c) ^* ^3 E+ A+ ]) S. N+ S" X

& }- U5 @2 N$ b% f( b' i
- G# u* x$ Z/ o$ O不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法# j6 j' m: R3 |, o9 p7 Z

; w3 s3 T0 s" ^) T- ^4 V  }9 n) {( i" t: \% b. W

4 w5 e$ i7 ]" _数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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' U2 C) Y+ `7 |- o! I( w
4 s& U- k, w7 X. |) h& u8 M# L/ [1 G3 F+ k- g
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
0 L7 b) M+ V2 t$ ~) _5 ?+ R5 l( T* @- j3 F; V# n: B3 \; l
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
5 p  u3 u; ^/ b  H5 o2 l- q
8 I) r* X2 y" Y2 _; Z) W
0 M& q8 s! H$ l1 Q: e- y; T7 J" C6 z0 ?4 G; i& f6 V! f
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
, a, o( R8 @& W* V- O1 j. ?( p
0 U+ l. N7 {  U有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来3 y( j% p8 @' R8 s/ T& e/ z" Y
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05% Y: W9 W' u, ~3 f2 X5 ~4 b
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

, ^  P, U  X" W9 Z, c对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40& n* q+ y2 H3 `
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
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对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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