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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
5 r# I$ c& ?, t1 n, T, l+ {  i2 B4 y2 k! Y% r4 @
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
- M$ Z1 q% M  y7 C  [
% b% ~: N5 J: W8 Y& \5 `8 f8 y众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。/ F! x; P& m2 H
; K: s2 j7 k, x/ u  ~. c. L
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？9 k4 ?) t# a' n5 ^
- Q4 a2 o/ ]8 X& Q3 @7 L+ C& ?9 U
7 x/ f' w- u2 g, i$ a

6 s  [/ t$ W3 S* w7 ~, ^' W+ D翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
7 p5 Y1 T$ j5 V6 p
+ a6 X6 P* [9 A% c$ K
9 X/ O6 F# F$ Q+ Q  c  _
6 ~. c2 m: B) H+ t- Y% O不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法8 g+ t1 T% H( i0 ~
1 m/ i5 s4 ^0 o$ \& Q7 l6 T) J' z
9 {8 r2 Y" |9 }9 P" @- o
1 y3 ^$ @1 n. l& m! @
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。& \2 u( M' {, F" {" o' Q3 ]

* ]* b; O8 C% o8 O' Y0 M6 l3 A# M% y( y6 Q) c6 R7 X
! c5 I5 z3 D$ G0 j5 {( T' j, v8 l; {. t
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？2 Y; f  V& Z8 p; N6 D2 h- p
5 a9 Z1 x9 d7 U: Y4 K9 ?9 C9 \
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。( L: |; V1 S* x7 n

3 R2 V; G( k8 x- ?3 o) \8 S/ D1 L1 y! s3 ]" O$ L

! m8 x0 e; x# u. g0 r指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
$ }4 p/ ~# c5 u+ |$ C. `, L' b
1 ~# D% I0 I. w; B" c" E* ]; N: B/ A有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
( F3 Y+ K2 ]3 t' K以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:055 O* a# c5 Z6 Y2 O8 c2 t  K/ F
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
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对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:405 G" }) W  T4 k2 T/ o
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
. d) a% y3 F1 o8 E: \
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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