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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
: g; `, f: n) c, c# |* ?8 c' V% F. }* I; J
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。6 k! N: Z9 V9 t' v) r) k

- R6 f! i; T  M% I0 M众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。8 I; Q, }$ c9 [

0 Q$ ]3 @8 M. X电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？* u3 e( g! p& U/ l( K
: i. i1 x4 y% k$ m% }/ L5 b
, S, G2 {3 d2 `: j
6 u( U9 f+ h0 I
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
% a; t" d5 u% a4 \* y; n/ y3 Y+ ?1 q3 D0 j8 v5 C
* I, {' [. F9 U( @% ]7 b8 s
" K* z3 G, }. j+ A
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
" V0 h) N+ n  A; Z+ C7 K
+ L! O6 L: k) r1 s$ t8 D, T5 Y3 G: q& Z& o

8 ?; n) A+ I9 y; y数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。' Z+ |1 R. F1 a- R
) V0 \2 Q# @3 a2 D2 ?, ^! |

8 ?5 [" a' q0 y$ M5 R& I, z  u8 D8 Z& L# v. [/ q9 A- t) _0 ^
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？/ ?, `% w7 m; l( N' }; @8 g9 l
9 p7 d4 O( h) ~6 j0 V( m: }
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。. R4 U/ o( w. q5 w: L5 ^& U

$ T3 \% v: z/ i9 s3 T6 [1 t
, ^; I$ e* E) R( J
. B! V+ _$ ?  G2 }4 k% v( p7 Q指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。& k, S: Y% W5 J6 N) S2 z8 Y# Z" k  i

- B) j% \) o; ]9 D) v0 y有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来3 W- ^* [0 W2 G
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:055 E# k5 S: R6 \& N' c  L
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

+ x- t& j4 W3 |$ B! j8 C$ }对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
! s. C6 M- M' r; N- S9 f% [( X又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

- r; i6 n0 j% n/ H. {+ z) L对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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