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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
: [2 r: M" J# ~' f
. i' j, j# l! L! y最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
2 I8 c9 k+ f6 S# k. Z6 k+ a2 B3 `
+ e4 I  n% ]8 a4 r众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。- R9 R1 o8 |% }9 a6 R# \* l( [

. _4 ~4 v. T; o; M) Z- c% H$ S电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？- f; C( l* @7 i4 `$ V$ S) g
$ C' F1 j( |3 Z$ M, D; N

; \7 J, v# {  g) h
7 u1 e% x) v( a2 H+ k% O翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：& r3 b% r/ o) `- v3 i# |" @

8 O: Y0 ]- R2 ~6 X' A. W$ S# z9 K# p, h

) ^( P5 U; T7 j不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法1 Y1 z& W6 @* ~, ^' ~

- f$ g9 k5 Z* U3 ^3 H/ I
7 x$ o$ v7 X2 n4 X, c) p! i  Q* X2 h7 `' }3 n& `% }9 x& Y4 }% d
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
, J( l/ Y6 R$ B5 M  H
  f6 x# a$ _8 H3 [9 L8 t7 P$ D4 L5 b2 E; `# _( _
# H7 ^$ ?; }# P) |! ?% S
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
0 j' i5 b+ q% a$ E- @2 }; z' n) U9 Z. e
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。5 S6 K' C! Y& X8 v: q4 H
( }6 N1 `. `, m) Z  g* l2 c

( D9 o) I5 |: w; ]5 m1 J* S' @: ~2 y+ w$ T2 b6 A
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。+ J9 B, Y, K, ?$ }. X$ e0 C2 S. v, F

. s8 V9 @* j6 ~1 ?5 s有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
* B9 g7 G$ Z/ k. m* ^以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
& w, r6 e8 G7 E* N+ {2 ]高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
, [" B; |4 \: t' X8 f
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
! ~+ i- S4 ]- b6 v5 X7 s, A又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

5 ~1 Z7 M2 P8 u& I& n+ n! P6 a2 V0 A2 O对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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