爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换


* `5 }! V) ^' d' B最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

! h6 N* |+ Y0 B众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
+ q, a  ?. b) a' `. a! q1 u


) A& U/ j; _; s* r7 {6 H3 k翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
0 f! L  w3 k3 R; \* V+ o


0 f* B1 a4 t0 U3 ?不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
) d' o! S2 Q; c; P
6 V: b3 ]4 J$ {) j$ o
) B9 |4 o6 y+ @1 D  X+ Y+ g$ K+ J
+ K2 l3 H  k+ t/ ~数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


# p5 w0 k0 l/ i' ~: l. z2 D+ c7 Y( \
9 H5 `/ z0 u$ A% f6 T! n. F# L+ K傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
, |. X" {- @- I: H. m7 W' E2 ~
7 K4 F4 \+ A( X
' u2 i$ L+ h) Z* D
  [0 [, _2 P6 n6 ~3 w- w指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
) k+ |6 s* ]& Q( g% E- h  l
  F6 G3 B! C( }8 B有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

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作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
- G8 {( }4 V+ N& h+ T以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
6 C0 i9 d& c5 ?" h# L高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

4 r1 h  ^* @1 y( ]- P8 F0 e0 H0 T& W对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

, |. A' o0 D- J5 i6 k3 N对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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