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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 6 c- E9 X$ m7 w

8 u0 V2 p9 b- Q: N最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
* t2 D1 P+ S- f. q
1 o7 P: `5 ^4 N众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。3 F( n1 S$ Q7 ]3 k3 D* e/ I

: h7 N# F4 H% X. i* i5 Q1 |3 Q! w电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
+ K+ r1 h) h: h/ u
0 m/ s& X; Y+ V7 U+ p: S6 }7 {; X9 d* j9 }
6 q' ~: |1 m( k
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
5 N1 r0 N7 W4 N' L9 O' e" W
2 X$ I- K0 A# ^* r) }; Q& A3 N7 R& K* w1 b) ~$ U% i

0 I, M; S$ N& N0 K7 e+ p, c: f不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
  d% B- V2 W) o- Q7 j; `
) T; f* `1 Y* L, v) W" u0 T* G- r( }

8 w% ], k+ |, O8 G数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
1 T- C9 z5 w8 ^4 e
8 I/ C4 T2 @3 F& b4 v6 z
1 A0 {6 q- ^# E3 g- c; g8 L/ P% i' S4 m+ ?4 w" \
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？, r" e3 U  |9 Z# `$ W* n

1 {, |! |, J. ~. p9 ]5 z拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
, X; k- _9 K4 x( I3 y1 @/ `
" D4 K% q1 _! }/ b2 }
" G- Q+ e8 s3 i0 }% D8 F) x& j! ]5 W0 C* \  [$ }, X0 r) j
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
# r, o( {/ T4 l& W  S* @6 Q. D' }& U6 _, @% |( f- H
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
: J/ Z9 H+ h. z3 @以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05; }6 P6 T4 \5 o9 K9 e# B
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
6 @2 c& U% }  {: [$ X
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40' C5 Q/ j  L3 [
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
7 P$ }* E+ }5 O9 g6 {" ?/ x7 U
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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