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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : t+ |1 P. f- f( T/ v" c

" ~% v1 Z: f5 \% C最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。. X6 X3 A. [6 J& _& y: Z
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众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？6 @; ^% I/ M4 y) T7 B. x9 u) ^! m

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3 T' b6 H/ }( W# Z3 Z  G4 M( M翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
+ u. V. K2 L" z! }& m/ T( F  h8 U8 s

' T+ K! \6 K9 ]0 i# L! e) o
6 `6 o  y% U! N& p9 S/ N8 c不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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' e4 B3 ?: K7 X% j6 E9 ?* r, ?  ]' M8 C$ i9 O  b3 N. u! P8 N
4 F# [' H% Q3 h
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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( T) a8 o6 x* P- w
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傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
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拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。2 X1 u0 ^# `, ?/ }  C
8 s3 g: F! L* d" X. b6 D1 t1 }8 ?& L

6 B# }) M, }* G$ k; D0 s- ?# }) U' \" Q0 ~4 L0 ~  a+ r# L, A
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。2 }2 b0 ]; [5 y# O: \  W) c
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有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来' v4 @% X: C8 E
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05& A, l. N4 v. D
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
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对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
4 I( m/ m2 c. O- B5 ]0 Z' X% _; Q又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
1 \+ q- H! W$ ~1 N. f
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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