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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
& A2 T/ x0 a6 p8 h7 E( f" Y2 v& E/ Z6 m  ?5 }/ R
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。6 s# N5 [) h  u  m, v
7 S/ u  u8 V4 l- \$ y& r, i
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。- o8 V4 S1 a+ N

, R% b) J0 t( R' J8 Q6 q电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？  @! n! k) X: b: j2 O

: L9 s! m: H/ N7 P
3 u: n9 a7 e! o6 g2 q$ q8 j; Z1 X/ z* B4 B: a+ U( U+ q
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：" ]0 `" @* v4 C& b' l+ u

# L$ q9 w$ g5 b0 O' s( @' {5 `. ~' H$ y/ f/ u( y7 ~2 T7 `  S
- @& d4 v7 S9 Z
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
- L; P) }9 o/ n7 q
0 l  j  O& |4 o9 m+ }  m
7 Z: P; u* W# b2 m8 @! X) {+ [9 t7 O3 v. B( X! ~
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
+ ^" S: Y1 r1 L& F) |7 D7 K$ T& F: P) F% @9 h
2 H. z: s" L  @' y& Z; \6 y9 u
: u2 m+ d0 q4 N# P$ h. Y0 t7 e
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
. z$ ^2 q# J  I3 S- L% m+ F, W. ~4 ~# L- r* t
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
# C! n& @" j4 S+ J9 b6 c) o
9 _8 E, f7 ~" m! d& H
% S8 d; P/ j& H& N0 w% z" D4 @
7 A; ?9 Q* q- l: R9 u指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。% i, ?/ |( u& w1 p
# M  \, e5 Z" ]1 \4 p
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
: i$ `7 z$ i1 ~% p以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
4 H  X: {+ a# Q9 j* R高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

( `( I+ q& }6 L  w. `对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40- c' X/ F+ q1 M' ~/ i
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

# H4 G3 m- W8 F. A, c6 U对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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