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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
. `' @6 L% }5 L8 Q% T+ H7 x5 Z6 g9 Z2 j4 H' O8 O6 p& ~% [% _* h
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。* L4 p' x# }4 {2 x+ _& ^9 [2 \
$ Y: A  J- _& \. W: h1 X+ L- l. B' }
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。5 f6 ^- a6 `/ O6 X* a3 }. z& P
7 F% c0 J0 m' f+ D' {% ]; ?
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
6 F+ s, k- ?* v+ g" g" Y2 }8 L; d
2 {5 _- r. ?, K' I$ T5 V5 w7 y0 h
& N  v1 N3 z& K* r
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：1 s& J  M. b- ]! D2 _

. q7 W) o! L; J% D
6 y5 g7 q, Z/ H8 T! q  z3 \8 S# h8 |. a1 B! P4 j( E
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
& \, U& Y( J4 _: y- e, q( n0 L# l+ Q+ j/ Y' c2 k9 j+ B' t% j3 I
  H7 M" A, Z/ v. X6 Q

$ s" L: M4 g4 r8 d* A数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。( w& A% F% h+ v
6 F/ {# `8 J$ B+ X9 ?7 {$ q
' G- Q; s( U' }9 y( Y7 u
" l( b) k4 o4 p3 J: H/ H
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？7 b0 ?8 C% i4 k1 {
' ]; o- }( H) |7 Y3 |; G& k6 S$ D6 M
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。: q, D8 ]+ R5 r8 v% B& Z

$ W( X$ M+ b6 O& W  X# g7 K5 X. E) w% M1 ?- H% s# V

& X' t7 U2 m, B# W% U2 g" r2 X指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。# n# {7 i' R4 |
  \+ i0 F6 F6 x3 n$ X
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来8 r5 e  \7 ^4 m* f$ a
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05& S; f) U' b) l! B" g- O7 I0 |6 O
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

( A9 u$ I& P3 o7 x对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
3 H6 @5 r8 g0 Q4 B" R; N又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
" L# `  d- F2 m# U( |
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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