爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

---

作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换


最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
/ [. y+ T( p1 F
- G4 J1 Y6 S4 N众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
% E# a- T6 I# V6 z( b4 R7 B
0 R( f8 _: k4 d1 i/ B' `6 w  c9 k电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
9 o$ q- J' \: I2 u! y; j, k6 }0 D; |


- Z$ U2 m5 Q2 j% a翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
% M+ F7 o- ~2 N8 d# u5 E
) d  g5 L7 l- T" ?+ c! [

# P- r; M! z* h* d不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法



6 `5 m. i) n: I; D) @数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
; T+ @/ h) G9 j8 G
7 g& o& [# b6 I3 R: U( J. S

- W+ I4 T  a! `% b$ A0 J+ `傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
) ?4 ], q. o- l  D  u' d
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
6 w2 Y7 e; K( s7 T, B


$ h: u+ P8 M5 i8 W# m$ r7 V指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
1 u. Y' w7 @8 Y5 ?' S9 c% A
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

---

作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

---

作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
( N- ?9 U7 {% O) N  i! O+ s3 h以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

---

作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

& a+ m  r' A+ ?3 F+ w5 I对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

---

作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

---

作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
& F( K- t& Y1 \; X) Z5 D又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

2 P1 r) W: o; L* m3 [对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

---

欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/)

Powered by Discuz! X3.2