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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
2 c6 d; a1 _' ^: D2 [$ j2 R- f7 p% M. X) p& I* X7 o
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。; _; \. p1 _8 ?: E4 y, S7 u( G8 H

; C3 W8 {9 z  u/ q" o& x众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。5 L- v# z/ `2 Q! k
+ i9 r# N2 E0 {* _( Q- b
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
' q' m' D# i- j5 C/ C3 `7 v- k
0 t7 \+ b9 }; v6 q
0 m! Z. h% C: o0 S9 ^7 E  `- ^3 N6 G/ g0 \
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& N9 ~( s5 W/ p+ ~% e$ H& T- v5 C5 O, ^1 A! J
% O/ m3 S" V0 s4 |. @+ I2 N
, ?, _! U) Y5 J) w
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
1 \7 f( u6 j: j8 b( M) o+ y, I4 a2 z% i( h1 j1 g9 }4 B. S

4 W* ]3 S+ W7 d0 ?
+ n' m1 I3 |& E/ d- j& U# y. h1 t数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。4 A9 l- p" T3 z/ m4 \: j

: Z3 C3 T( i0 h3 d" G: J( \
8 x1 m) u, m- K% i6 k0 B" j5 C% W! D( T
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
, u& p* D# Y2 B8 M: |/ e. n# P# a7 U: m& J- ~: [
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。& D: |7 a* k) Z! {# s. _
7 F. u! J9 s& h1 H) g

# G2 q9 f7 a. u1 O1 W
& `' ?" R' C# u/ Z# y/ g指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。$ j, d! a3 x/ C

. b1 g* J5 `9 k. g! n有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来* |3 m: b/ Y) w- U' d  u# J$ R
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
" J' U$ O6 O: C  M) C) i2 p高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

$ y- E- C# O4 r& t% E对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
! |8 i9 v! R& B. f0 k又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

/ j! y" ]* }5 F! C' p+ K2 j, {对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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