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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 / X* |, ?! G0 K( |- U2 v( C

8 c% l% a+ L" _. d0 |+ e, g最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。7 t# }% z: u! ]9 ]! s! G
4 O0 X% K' F; [% \  \% t
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
& e% i2 l8 a. f9 S" b$ }6 }* x/ M) [% I
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？  A6 }* D/ `3 d5 Q3 L

3 E. o" T9 g) C! I# m" n# H" j3 K* K5 e. j5 g

' n, A% S  j& s; g5 a翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
7 X" u* ~% _  x7 l8 R  n- N" f7 |# Z' ?4 }8 o7 O1 J# {  w/ S

, S: C3 u3 i6 R* ]
# O9 {% M8 w% M4 x0 V  T不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
. T6 h! E2 Q9 H8 c# Q2 z
0 D0 `# e% u: B8 P0 E# c+ F! L8 Z( e8 w' o) t  y7 u

# b  k# u8 S9 t5 v数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
2 `7 E( Y  k8 D( \
! t: s; X5 X2 s9 l8 Y! r" g1 y; Z  p  P1 T5 e; U+ o3 Y
- [2 {: H8 \: R) [' C
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
9 t. ]* h/ u6 I5 W2 ^% D! L9 ~. [& ^  i* Q9 w4 E
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。' n0 R) f' d1 Q( P
8 s2 }  D4 K3 D) x$ v: E
) ], ~; M+ @1 J7 }, P
" H& q' r0 F( \
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。5 x& n. A+ y: u+ _6 y6 |3 R/ g
/ k- W: _" y* n) j; J5 p1 {/ ]
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
# I3 M% q+ b9 w' s0 K$ ]以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
! r" H/ X: N* X! c- D高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
( s# [: `5 h8 i2 q6 M9 \+ D
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40+ V/ \6 }$ q5 ~: q# t6 K; P
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
& t' g& x6 e  y; ^( O0 V! X. ?
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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