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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 1 J# @  {- {( t. g
6 S9 q: G9 G4 c5 M- Q  {! m
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
" C3 }. q  U& d$ R. V
- Y) S8 K+ z- |/ O" F5 H, i6 M众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。0 l8 d' O8 J, x/ |

: @8 l' O) b% c: W9 n7 x电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
: B, d+ B. ]( t* }
# B. X5 _% n7 T
' b. x. ^, w- c/ a
' Y, K$ z. P4 |翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：3 R+ H0 g$ l' @  d

( A. w% j9 J( N: Y1 R* j/ N, E  A* A: x4 e

" I0 O  ?" M$ m2 r) y8 Q不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
. y( I  d! ]! X5 o
, _6 U/ o$ i/ ?3 T( O9 _6 r6 b+ ?6 G4 I* u6 z# B

1 b' L* W4 h; J# i0 E5 y0 {5 S数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。; [9 l3 L  I6 d# H8 f2 ]' v/ F

- r9 g9 C$ k  W0 r% V1 [. b" P. X1 H  m2 k# i5 E
& R. B. ?; i% w
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
& ]/ W% ?+ t6 B- U, n4 }# V1 t: |9 C8 r& ~3 m, \4 A! ?
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。! l$ g, t  v; V4 V; n

' w: m$ F' b+ i& v
) k8 l) S8 h( O8 w; V+ @0 M7 z9 B8 @
: \0 d% C5 Y  G% @" L指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。( b- F' [% ]$ P

  ?1 o% y: Y) D有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
3 I8 r( f  H- |% d4 C1 ]( A" q) w9 Q以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05' I+ R* r, a& }2 v0 ?
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

6 M* R" V' I! i1 X1 ~对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:400 h6 w. Y- j3 }7 k0 t1 M7 X% ]3 P
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
$ P) S8 r: L, ~4 S3 V6 V7 p
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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