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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
+ w# k6 O3 ^' h, X9 ~( M* T# `$ f/ y/ @) l' r4 G
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。% b; d8 I. q" Y& C% [9 L

' t7 x) \, _- O众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。" r3 X! c$ z8 c( p! V7 `  W* ]6 H

" E) r* ?5 U1 W; q电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
" N( A2 g6 o  j4 U& S$ m' _" x9 u, z+ A- q. E
" A: }1 ?) c7 N, o& s7 F
  X7 V: `1 A' ]8 z3 E
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：; z+ a* f2 K+ U/ [& g

' S1 Q  c1 R' G
$ \5 z( q7 t, a) X. }) I$ P
" F+ d" b! p# y6 O5 y0 ?) Z; L4 W7 e不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法  Y6 i# b8 M, L; ]3 x5 _

4 ]" j4 i  A+ r
0 f1 T- U. o. A+ B9 _/ `$ D2 o0 _
, J& i' u+ H; D& u; l; ]/ B5 G- C数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
4 ~0 ], T' N0 J0 d- b
% W  b9 M5 k# Q6 o$ g. P0 y7 x+ i
- K, h  z5 @& h8 ?3 G' J
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
! v( g9 o$ Z/ _% M
3 e% ~  o' p* h/ P  Y; q拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。1 U5 y. `: Z, m* ?

% e3 v' H- f. ]9 n" y9 B0 V
6 Z' V. ]' U1 c" B( j; i" S" g+ j" N5 X7 u% F% ?
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
' a9 e% S4 P: v" x( j3 _2 b* b& w
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
' g* ~8 Z$ y9 A) K$ Q5 _以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
, n1 z9 o5 Q. C! q3 t, h高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

. p$ n& L. i$ `$ n  S: M  k对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40$ E7 O* @3 s# v1 h2 M* Z
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

; S2 C6 d" i: [0 P9 G+ c+ C对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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