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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
: o6 v6 ^% V, |0 f3 s1 \+ n# _5 e% I% u' n* ^2 X
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
/ p- L! r1 E' I4 j/ G+ x- g% N; U4 M3 v( w5 q
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。  c0 K6 z& ]' a% \  n( p6 K2 f

% P8 o6 D: v; h4 @7 L- _  B电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
& a1 \* y7 U; O* ]4 }
" \( O$ G' A2 }' f3 D0 `! e5 `
* q9 c0 C: C' }; E9 B0 K/ [4 c8 p, k- p$ F6 C% r+ c# ?
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：- v: b9 r; i; E: O9 \4 K3 d
  o) l8 }- m* Z, W4 {: \5 }. s3 Z
4 X) k9 ]2 E7 {; v

! _, _$ m2 }9 O. u# G' {: d/ G+ C' z不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法/ ?3 F+ {; Z* t- e8 ^* ]
# \1 [, g& Y& q' g3 x3 k
! J- [9 U/ O) v
+ l7 b) K7 \  u" R! R8 q( D
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
4 J) n1 P0 k  {) p+ f( Y0 y8 U" C" F/ P7 ^; a' z# U' s! \3 X

* \8 j7 Z( Z- E! O! p" D* X/ R' O1 a4 H  Z
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？+ x+ O8 e! x! B7 t! y& G$ v

5 A$ b/ w- @: m6 J. C; c( `7 f; }$ P拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
- X8 B: T4 R, ?3 g- K; j  h1 ^
+ z) r* @  Z$ p; X3 a; I, ^! j
& x/ R* R7 G- K
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
* I' l$ ?1 w$ a7 ]6 b* I' C) F' s; @; I
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
/ C0 j  @. C4 z% r3 C$ H以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
/ D7 Z" b% h# n( q4 X; y& l- x高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
% D! V6 _$ @5 w4 ~$ R7 \
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:402 h/ d4 @3 T. |. p6 k6 j
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
0 |: Z1 Q. t- K0 T% m0 `+ ?
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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