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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 3 ^4 \$ D. n: f+ O$ P

' s2 x) Y* |6 N$ u; \最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
" A# G/ C( w" _- X- H: c% E; `5 b; U% f; Z7 ?" I$ h  A
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
. m0 K7 C6 J$ ~' j  h/ |- d9 U* Y% {2 p% V+ m
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
" J6 V* s+ [* e0 C7 m+ d3 }; x* K; s3 A4 y5 L! ^4 k
9 L5 `7 N0 o; B+ I& R
! z2 }4 s# u& H/ F8 l6 s2 E$ o
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
4 O, }) D% J9 B/ J7 y
) z/ S$ u% l: r0 r5 e% K' @) n5 R# O$ q) a, Y0 R

, w$ }/ W/ O# |" }8 e6 V不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法4 [9 p5 N& X$ x+ ~7 s
& {- j, _/ t/ C, h' T8 l+ ]
. T6 b4 c) C! {6 ^  O& Y. k) M

  K3 T. N/ k1 l$ D6 B( R8 V数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。: x& d! M* \' ]" G" u

0 I; ?9 m% {/ g* Q' C! K# |! v
6 p0 F" S. {- _" h' u9 a* I1 g; ^- f/ r
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？$ u; i# n! m  c
7 w) w( h4 |6 S6 U) o
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。( Q' I- R( h% b: T

1 P6 f8 w" s! e, R( l- m5 h& [' J3 ^: W. E* X; h2 P" w

1 r/ H& G, G& I( c( F4 V指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。8 h" u" N# n" F: M

% e; E( \- ^' r( c有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来  z9 R- J5 N, q2 @2 w3 K- r9 V
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05) f% Y% t9 R* T+ X' A% q# K1 V
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

+ U) ^; r0 B# I( A9 B对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40  K- j6 c' ?2 g# _! V
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

4 M8 ?2 |2 X+ V- K( I对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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