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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
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6 n5 H1 N8 q) U( j' P" G$ j最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。0 I7 t: V7 I) @! P; a
, H2 p- d6 x% l+ @5 `9 ]3 W
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。6 Q: b9 M8 L: X) K

6 {- @9 E- h: I" U& b: N( C电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
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2 @  W% P- t& v8 x6 h  g
2 Z4 {' H5 u  j7 S
. G4 Y- g0 N. }3 T翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：/ P- _% M3 t5 X0 J9 M, F# v

- P2 |! q6 O4 [! p1 G
4 a" `, ^  x: \0 |0 t9 N1 I0 Q3 t
: X' B  c; s8 i; A5 x" L9 b7 u不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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% d2 R5 f6 G& v) V. _: o$ u1 D
& C+ q2 D% v" L. d; \
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
; g% p, l1 O# V
6 a5 V  S( j' ]8 A0 h, Q, u: T& M' f& y. V

$ @& P) K1 Y) Z' P6 Q5 N傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
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6 j6 w/ E; `  N: `, ]% h8 o. ~拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。" @/ t+ H. p! r6 w/ e

7 N7 g) l4 Z8 _3 [) D. F1 k3 F9 d: O9 w4 }( R& T5 X8 g5 S  Q. x

8 z% w" q; N2 s指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。4 X1 z+ Y: C' w4 s

! K; D" q; J: z, ]有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
' I6 ]: _% Z9 i. I2 L  l以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:054 @4 f( j) \3 a( A. f8 x
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
. j7 X9 C, E" X9 J
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
, ]5 w$ V) T4 Z5 k, ^: M" `8 H又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

5 G# M( P- I7 T" k! G- q9 I对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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