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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 " w$ u! X* y, b8 s& g

1 g% S! a/ z( @+ n最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。0 d! F: b8 v4 |5 e! g7 O$ y
6 W- z6 c* M* m  Q+ c1 R3 h: V4 |
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
6 f, i. a! Z9 s) ?: t2 j# S3 s2 O
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？9 l9 Z  ^7 k$ B9 z

2 J8 r$ |) H" p8 I, o7 [( Q" u6 B' f7 r. _. u% ~7 B! n4 L

' i7 G% w% u. w! v6 ]# H' P翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
# D; f* {: k1 j" U4 I3 s" `, [& Z7 ~5 v
, g; N7 a( X3 Z

" z9 n0 I" }' u9 n% T3 |不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法  Z$ f3 t* ]6 a# r! {

) ^; F! v& N# V  S+ |3 K& O
$ s% U- [3 n% c/ P& _. a  L0 b+ n. n0 w  e# Z/ ~7 M
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
+ K9 V9 U3 ^+ @) k
( Z. F% f  |/ O; l2 r5 X0 g- @. ?6 e2 {6 |# I
0 P0 `( T! K" D3 H9 f0 f
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
, @3 L# L; J, g. @. n! ~: x# q1 V
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
  K4 k, h: r9 K2 Q# e7 X3 o5 q7 C( ?, F- p& C; v

& w, W2 l4 x: a2 e0 \
9 z$ y' s* Q) u2 }; ]指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。! ^. {2 r9 v! P) E1 m

+ a% L1 }; M  c7 H有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来/ d; Q6 r9 h' w- Q
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:059 _7 X4 G& ^7 d+ @- p  I- F
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

: c7 M; S5 q/ h; M对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40  @( H2 j) M1 J0 O! g
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

0 b: [- G4 U8 S& _6 M对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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