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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ( a9 G' H0 a' _0 d, \2 H

. z: D5 X$ B2 B! l( q4 m最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。0 ~, G. U: y, O3 I: v
3 f: @4 y3 _( c' Z0 \$ F1 s
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。3 O0 p' A2 y. k; c7 c

! g# x/ @! ~4 f+ Z7 F9 e电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
, Z& H( c8 R. v' i6 ^$ \# G; l2 M8 L2 m" E$ O& H
4 g. Q7 w! X+ `$ m- f1 i. l+ G
$ C* R% j0 t6 s5 U0 L( p
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：5 K# F. q) L2 i' T( g! ?

4 f# G; R2 a% Y  H# B; R: e
) F. |& j% `/ J  z8 x, L, n9 E! c: _) d4 x5 X: W) a( m
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法$ J$ q) W. F4 q
2 |: J* M+ K& E
" T( N9 i: |) z* s7 y4 {
+ X2 P/ a0 }  \- l$ W3 C
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。- t) R# n; K. }, f/ g, A  p

. V0 E$ w' |. F# k- o  f% c- O$ a1 |1 C* S4 w
% W: s9 u' t* V% |; u
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？; j* n5 |+ v6 W, G, K* R
. k" f- d6 W5 Q/ |& v# {
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
9 A7 u; w' s/ O5 S9 L& d- o4 m; T  M' d: C) K7 Q* |

! m' i# @+ v6 O0 E/ J, F7 m2 P! h+ f
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
1 }  p" P& C+ g4 F3 o0 Z+ \' q. Y. M' `* m  k  C
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来) N* `# H. B+ c7 X3 S: l
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05- z' ?0 K6 I7 p
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

/ f& p  w3 h! y对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:404 q8 S4 O: Q4 H. C; C  G1 i
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

5 G' \! I2 u) D; G& l$ @对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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