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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
2 A# U% |) X* x! K6 \! e' }) }9 m2 ?% f; n) Z
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
- J8 d8 n7 M+ ~+ b/ c/ c9 r( B3 Z( h$ x. ?( F
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
7 i8 {) {7 E! z( l* d" Y
9 N* M$ D- o9 z' T& |8 a电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
5 B" ^; c3 L  j7 {/ a( n; D: A/ H: D- x
, w* _6 M5 R6 L+ |5 E7 {
* X2 e- n9 v* ~# e
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
$ q2 T3 d: K* _5 Q" @
, O1 l. A$ ~# Z" ]* H7 i6 ]0 w) j) b& U
4 u8 q8 j7 W6 X; `/ x
8 k; e/ k( ]6 j$ X* T不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
* F/ W" l' G5 c6 ^8 S2 @1 I; V, T( j9 o% U/ K# j
( W- I7 X2 C3 j8 H$ a+ l2 t
9 l$ v  E  H% q+ R2 @8 Q& K
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。$ j" l4 {# [3 Q7 x1 [/ R

- p+ U2 c" e6 l5 k" O% I, Q* Q
+ H& q- g3 t$ Q5 b; Z; V/ l& c! \3 N) x: @, [- e
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？: A( @9 y: C* J) ?- j+ A
, T! j0 d4 r6 Q( I
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
: `8 U( ], @+ g* Q
1 C9 j, @+ p# x  s. ~. b; S3 H$ ^- h8 g9 @* [( r
, R" O1 T9 i4 b8 b, e8 ~
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
2 x# s: ~+ X8 O/ b
( q! `  a5 z* F2 y有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
* [9 G7 Y8 B/ z8 p( [, \以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:053 S8 W* x7 X( y4 R
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
! R9 f2 {" z1 f- S
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
8 H+ G1 v& e* ?; b又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
" r3 }- p9 ^: H2 m4 }) T
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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