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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换

7 \6 l: W; }. {6 b
9 R9 R: C+ m% }# b. A, A最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
1 l4 e# _( k  h' T% P$ v
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
; S3 ~5 A8 A; i0 L2 q( l
% q8 O! h( J3 e1 b1 ~电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

/ b- X3 v' g- K1 Q

$ ~$ {1 J5 X& {0 d: m$ c翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& n0 F" B  G* i9 E- c+ }


# t& L; a, z/ \不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

* n- o  U. _5 g1 L' Q

9 c- ?, ?! W* M# w2 B数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。



: T- o# s: \. j傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

9 c$ r4 o9 a- `* ?* \  D. G# A) b0 Y$ }拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
3 ^  }3 E0 c" |* V  ~/ b6 h0 j
# U- F, B( |1 J0 A( \) }' B
7 [, U0 V2 v% S, g3 j
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
$ D# S1 b, o3 J3 b7 T! x
& g: @% [# K& V- x9 I: W+ {/ K8 d, Q* }有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

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作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
- }+ O# l9 i7 y0 R' z; l以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
1 S$ C: y) P  F: c' l+ v高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

( V  Z" E8 D$ t$ s对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
  e+ C3 g: t5 N3 _又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

% m! n) _+ [+ `0 i5 D0 ^, x3 G: E( T对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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