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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 # W4 e9 U+ B$ }4 A- C
) F1 F6 ~& G8 `! K+ H; E
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。5 o4 m3 ]  W$ @5 o. U) r7 ]

) ^- N, |1 x$ Y+ y- `" n: H众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
3 E& |& ?9 a1 d3 f
. M- a, d4 Q) F电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
# Q) A: X$ l/ _! |) c+ g2 W" r8 R5 W4 B9 X6 R. {& F6 S  r% v

2 h5 V. F8 O2 t+ b" f. I( h
- S2 v: ~! A( d3 `  Y$ [翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：( b/ ~+ o* g& ^6 x! @  Y

* g: h9 a4 U( C6 i5 g
: Z3 J. P1 E6 o5 \# g) q7 J" s" s, ], X) @* |: h+ Y' K( T
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法/ U+ V1 o# ^# H7 a. i

5 b$ e+ K) a5 X! j- Z1 ^: K# c, z! W) S. A1 ^+ N
$ N) M! m2 s: ^7 ]. T
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
3 K: o/ Z* \! e2 i
, G* \( }9 k# j2 k- R! n' r4 i0 n. V. B; g

/ a$ [+ }7 d; Q2 h9 R7 D- n* I( T傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
% G- y1 M; [- y6 \/ U. E
. ]* c$ X1 p$ G2 v拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
' n/ m; `& k" Z, {8 u( X4 \5 ~2 \5 j4 g

" Q, L9 G9 d: V/ K, N8 _
$ v- J" b+ Y! \3 M指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。" d4 M  y/ C9 l5 f* J
4 W. Y" z, F5 C# t
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
4 m' X( I7 }1 Z1 |9 o0 }1 m以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:053 I% z4 r, ?3 r! w( ^/ S/ k& K
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

  o0 }. o6 C& ?6 c3 n* I+ r对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
5 a2 v3 W. Y' v1 w' L2 N" X% b又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

3 A9 J/ [) ~! [" G' G8 N对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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