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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
: ?  D, X- |' C5 ]  Z2 S
* L) u  u5 N1 c% F" j. F: {* E& P4 e最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
) ^: R+ v) T: K" X! H4 ^: W  s1 C( W7 ^6 s. \% A$ G
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
: R# i$ z: w5 g. t6 F! m4 q" [+ ]# A/ N1 e: W
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
2 A2 D; e. ]& J6 S  n' u1 `* K  i; B2 z, p" W, z

) d9 e$ f  R$ {- V# w  K, F4 s) E1 ?4 S
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
; Z/ Q7 f  p0 U. N
. F! b4 X5 \" u+ Y
" n" e( f3 A4 H3 L8 @- I! T$ x$ `" I) _: G
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
  s- Z4 o( Z# h9 d1 T- F
" X) ]3 N9 V2 t) X' n; |: f) R; _$ k

3 G- N( z/ W0 L) H/ e8 B3 e* l数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。5 e! ?* R3 B1 I& \' l2 L- ?

% T! ~4 m4 K' A: Q& J
' y5 A' d( b- D- {8 q  Q3 ~
9 y+ F$ i. ~5 w" Z) m& D傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？5 o0 p! r6 L- o9 F) p# z
: ]  A+ D5 o% P. _* k
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。6 w. P7 f6 }4 v2 U$ q; g* Q

- F; T7 l0 a! e* |; ^4 t+ J6 S* C! |) ^& I  U( w, K5 l
, O! S+ n+ z3 j( ?3 {' K. M% S
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。$ P1 I; ^* [/ }3 F$ Y: e* w
) y( i+ T- ~  m
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
% Z& I- _1 c4 F1 U' X& c以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05$ }. M" m5 {0 K. j) C% S8 O
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

2 Z0 g- `3 x! c7 Y对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40; {( r+ p# y: f/ W& }  Q- p
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
1 h: W4 _/ Q( r: V
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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