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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
. E0 P! F" B% d* {- \% \# K9 s* w( v* B( j+ y
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
+ [! o/ M: }2 C: A) e
3 T( x. [' K; X5 N+ j众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。7 O9 T# D* G5 i

( ?8 }% c! G% G3 Y  H电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
! `, y1 }/ v3 Z/ {! n( ?6 N' M" H" @% q
2 y+ J+ t# J% }1 J4 C7 G
1 A5 k+ A7 p8 [; A' F
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：" d4 Y. i6 z) F# D' _/ I

3 V" L7 ^4 B/ r6 y+ N8 Y
0 m* k% S# F9 H  r. A& n9 D! T* P4 J6 i+ z& w& l/ f9 d! I& Q
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
9 b$ z5 v% ?7 B0 c3 H5 {' l
9 X7 R# |1 H3 j  S- |2 I6 X2 ~5 |9 j. P
* Y! B) x6 r3 j' r2 x: Q5 g
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
1 n* ^( N2 ]5 s* a2 c
( ]4 a1 o9 L& b+ A5 z/ S% v0 H4 ~# S3 Q" r
2 ~1 }3 |2 B2 h$ X
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
/ I0 y: Z. g3 Q( o
- @) Y" ]+ i( X拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
4 x2 K! K* E: X5 x- @0 T; F( N# v# n  T" N  l
. G! M; T  R. |

2 f# w) e& b# c3 y- D& _指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。- b& K) Y. ^! t1 @

* o6 z$ L  }+ R- q: W# v" r+ D有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来% u( U% C6 i! y% [' I# c; e
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
" c3 @* s) X1 v& M$ t' T高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

* Z1 n  r/ D4 ~  |% j3 l' J$ v对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40, [6 _2 b# y3 w8 C3 D6 S7 j
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
  V" p% R0 k1 x' h1 C! _$ Z
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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