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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : I" L, T  j3 i" ^) Q1 L

: W+ p: y1 [4 K2 Z最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
' v# p+ B$ C  J5 j+ P* L6 }0 ~  B& S
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
7 [% n- c# [. D3 S5 y# ?  x3 F- y% F" r, ]0 s( L; N
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
6 f9 L4 P6 I) n! Z1 j3 ]2 k# h) v7 A( K
% t3 Z5 K. ~4 S

! s6 u" r# m1 |7 K8 Z翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
# S- |; v! ]  v  J) b: A% g4 j) K
4 }+ T$ O% H. O5 S: T& A) Q3 L# d# k, L. O
; [. V8 F6 b3 p) X+ A4 u
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法1 r# v! f  v; X) }" o' m: K
3 @6 }. w/ x3 `% g6 R5 {
2 d+ j( d; [/ k3 `% b. Y

4 a, s' @8 [3 K1 C# ~( R) O数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
. [5 Z8 p: A2 i. X  I* |* g4 s
& J* q7 \" f3 h/ z. [: M: v6 K: f8 E5 N: q& b. Z
5 @; L8 r$ I- S$ h4 t7 x7 ~4 \" J
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
' W% E+ z% V# F. a. @) @! D+ g
5 T2 J) s# E! n' g4 J拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
7 M0 F5 e# H, E$ F9 s/ J0 n  ?6 P) M% Y+ i3 t
. j) ~) D+ G+ V; x

8 q! ]. Z/ f7 E指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
0 M5 z1 V# ^4 {0 J1 y" r. i: }, t
' M; q. @. W  `3 c6 Y有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来/ X/ r: r' u; p8 M# F* B
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
, p! W; R4 b* J  U7 o高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
3 M. }( S, H9 E" H( l# H* m7 n6 W
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
, ]/ f$ o) z! Q/ q2 S* S又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
# e( v5 G( _3 ~# L: [! {- a$ a/ b
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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