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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : O0 X6 _% U# @/ b/ }% x7 t

* g6 l4 O8 I; E  o6 C  W: M6 n' a最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
8 ?4 {9 p6 l4 n( h/ ^9 Q4 C+ w3 Q, A
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
5 y2 x7 P% |3 R) n8 T
- W( K/ ^- d' N% V+ X9 S电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
4 g3 G1 w+ c/ G" ~' U' m
* O8 p. _* y7 C9 r7 _! F; D% h3 e, m1 r1 k' c
' q% d% b6 H) h: F* k# Y  n; f
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：. B2 o/ w; y  c  O. D( Y* {4 o

$ [! p1 C# A+ ~" J
0 o4 K/ p: P0 W! g! q; `* F' a9 J5 Y" p& v
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
# V3 J. W4 B3 G' F- k6 Z: V& o+ e2 x" f6 t  ~0 C6 ~

( j6 w7 W% {+ C- D* E$ {
2 Q/ ^; Z7 I/ ]3 ]8 Z数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。# N: s# v) s6 o$ t( S8 F5 h
* c5 T* s+ F3 c8 t2 G1 J
: p2 V' X, A$ S+ t: x0 V8 F) b# j
7 c  J  M8 s+ Q9 |2 h( Q9 S
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？4 Q8 K' F9 L) z, @

8 V) `% u$ Z2 _6 Q, k拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。1 T" v5 w) @3 I$ a
; q- n* g3 \+ P5 `3 {

7 M2 U* R8 {2 W7 Y, `9 N' B
* C8 @" k8 i* B9 D指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
$ p4 D+ K/ @+ o" o; A& g% n& @2 k! L5 V# b$ M! B2 \
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
* r/ l, P8 L3 ]  K以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
! T3 i, |6 B% q' r高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

8 V8 B" p- Q9 Z3 ^: @# q' V" [! X. n# O对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
# H6 o8 K3 S# {( X% K, ]1 p又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
. S: w* @% x4 a; p- @+ d
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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