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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
4 W* q& z% C1 B; }
  e# i8 s: j* H6 a最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
. A: V1 }  \" m4 Q2 k) |+ T' [1 Z# |' b) w8 {; F
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
$ _% Q" ^! q) W4 I) R) b  ^  p5 y7 H% L, p7 Q/ c: {
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？& I3 A. E+ j: }+ H% Q( u
$ H' j1 q/ L/ ?* Q/ X

* ]* Y8 {, M0 u. [+ A/ m5 w5 p( f/ \) f# y
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
+ |* T. H8 \9 t) D0 q4 N% S4 i/ s1 [( M+ m4 v9 r5 d

' A2 J4 g* p# M' m
' P& r* @; v/ l0 z. `( X+ g不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
" ?6 s) O: S# W% O7 b1 x. q1 a" D2 D) Z- U$ p/ U* n9 n' E. K( K
, u3 I% O0 ]- v8 m' |. S

! L( ]% N6 D/ ~! H7 |- L数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
4 `" D9 q! R/ W8 {* V8 [" R+ e! t/ i7 q+ Z4 X
7 y; W4 D, ?: @9 |; p
1 c! `6 V* n; I
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
% n7 }0 q5 l$ l
& Z% D# w: `$ ?+ i3 q0 x- M拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。- J4 {+ u) Y3 i+ e3 I$ r6 U5 t1 P

. o+ p; w) d6 M# a+ c. t/ v: q, Y. n! Y9 {' P8 v8 v) E; K- b( s
' L4 c1 _- \0 n% h
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
4 Q* s, C9 n5 n; r. o2 b# v) O/ p& W; b+ h; @# B8 }
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来( D: N3 P, t/ T0 e
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
  n# g- @& J/ l高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

) p( T1 U  N- m( p7 Z) i) j/ y对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40: o. ^" I" ?  k% X' }3 ^  E
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
6 F8 U- ~. S$ {; L$ ?
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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