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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换

; f0 E( ^: t! _! O- z( L! t+ W
9 g9 E+ m9 A: O  m/ ^5 S最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

% u4 B* y5 q, p/ j+ A) G众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

4 @* o$ g6 v) b% I$ \电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



0 V, E7 [8 v' K) x" q) s翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& [4 P3 P7 C: L' S( d* x


不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
0 O% ^! |8 a$ X% t* c' [5 p- u
* M. W' W' x5 M! r. G! E# u1 Y

. \/ v1 k- ]  Z) J; h) t- m数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

8 K* }3 y- W6 Q- j- c- Y
  z8 ]4 w* D; \5 |% |9 ~' ^
% ^# W/ o: Y9 a4 p傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
  a% u0 t. S' Q6 e9 n6 t: f- o
" Z4 @7 X8 h  z0 s4 X+ h& L! I拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
2 @& j. Q. z) @7 Q* @
( S2 N# U0 R$ u+ k
( I/ }; ^; \6 `9 v( f! x2 s
* @& B9 R- f+ f9 t4 E, ]5 D指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

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作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
% {  v' I1 |# [( b9 e( R) T6 C以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
" V- }4 t9 f! U0 z- A4 S" P高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

6 X, f% E- c  `  p5 ~  K7 y! l对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
* F' Y6 a. D$ f1 F又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

$ ^9 X  \1 a/ S/ o! r对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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