爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : [$ {; a8 A7 Q4 p

& y( x& W2 J7 v0 j) H最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
3 `: z; l* {& z9 h
$ a7 b& S9 C! h: y众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。% u7 b7 I, s5 v

0 P7 {  f% g/ [. z2 B& l电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？& ^2 W$ C8 |  |1 C: w

; W2 a4 H! `( U& t: v5 Y! I/ h+ a0 m$ I8 z: i
: j6 Z4 P! a% c" E4 {* A& O" h
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
9 h% ^& Y7 E' ]# V
* A0 E1 Z  S& L! f% h! P$ e
/ R$ h# I, `  O! J( L
9 b' J; ]% d. c  H8 g不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法  e9 [: i% R4 ]/ B$ k  j

. X! ~7 j8 V1 ^
2 c% }( L; Z" G4 _9 I9 t- c( z- M) F/ t- {: v; Y5 s0 ~; C* C2 c$ U
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
  Y+ M- G9 i) I2 D3 d9 b% C* \+ y1 R. q
' I8 W+ i5 r) \& g. U' d
) C" B9 J4 M( P1 l# k& q
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
7 ]2 _; T7 }( o& l0 I5 B
9 J3 `; L) o( N0 w. b% z3 b! }拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。' y9 v+ X4 f* q3 L$ }" P% F
! M" ^4 Q, w1 H  Z

7 K/ v, T4 t- s  h5 X! \7 h3 |7 W+ P. T
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。% N( H. `- l' _# h9 t1 s; u! n
1 V7 A2 r! Q/ J9 a
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来  C4 ~% ^# |0 ^; x+ x0 Z
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:051 L& J* f$ q! U3 G. J
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

# b, i* C$ q# k6 R: B: X对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
1 ?0 ^2 `' h- n又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

- B+ d" j. T* t4 Z对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/) Powered by Discuz! X3.2