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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
+ K. l1 F4 R' t' S! l. _! u4 H: p: I# ~5 N& s0 b
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
; c: `6 _! ]4 I4 A* n) e
# p; ?4 [: T  F8 T众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
8 h% V0 u0 g0 y8 g- x  Q$ b2 F' t. w2 {5 {& i
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
$ c' C$ c, i8 K# V) E8 w/ {! B5 ^( m. P. g

$ _! W# G0 f: J% z' W% t! `! P5 J1 V* _1 V$ Q/ Z4 H+ q
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：2 a# c+ H! V  b. M, m+ c# S, T% U

0 u( g! |% C* a% h2 |- r( x9 t; v- M# i/ z7 h" @5 @3 u, G5 V8 T9 z5 P

% \: Q8 D# N, f; H# ]不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
+ o0 T2 E4 B+ s0 E
1 F1 a( ]+ L( j; J: S6 j* x$ d. P& I% G+ l  ^! `$ A+ l
* P: d% }8 V7 M7 j3 W  O
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
8 U& V. W/ [5 g: X* e/ t* P" S4 G: [' k: ^' k+ J

; I# I) E0 d! I3 z, N' i, T% k
8 P3 {/ S/ H3 O2 i9 Z! l7 S& j0 l傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？- B( h/ q3 Q# o

! c" s' K  v/ X% I- ]) M6 i9 ^9 X拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。% c/ C4 H' t+ j8 V: N6 X9 J3 J
3 o  r( A) A/ B3 [) W
8 ^! `0 M6 y* L0 q

8 Y, D$ m( m6 ]) m) v9 \8 v指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
! Z4 y3 C& k9 R8 `5 |3 q. L
# K/ `  r2 P  X/ N有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
$ g5 H; [0 W0 L4 h$ R# G0 V以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
9 F" {" _. z; r" @高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

- ~9 \7 G8 P9 H/ K2 R( g7 R对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40% T5 p. }$ V* d
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
: R' |4 K# O, c" u
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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