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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
" T. c. Y8 e! t& f
1 N* d* r1 y" j3 ?. ^* g1 ]- x" _最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
' Z5 s3 X/ |9 {( v( J7 N
8 b) @- ]6 v$ l8 b5 v  D( N5 s6 l众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。0 l, l( R+ I, s, l; t7 w  c! A
  M" K+ v4 b( Q* t9 i
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？0 u; z* w8 B" n: Z7 _+ j
+ |" s4 o$ m% D4 c8 L* f4 z2 f
8 Z! d' F$ i( a; S' ?9 C- l1 N$ z
8 I$ D6 ?/ x+ B) k
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
( K" m+ |( \% A3 {0 \8 @1 T3 F' q6 @2 w

! G4 V4 |4 \2 m0 `, y6 K9 Y2 @
- V2 K7 `! _' o( n/ ^( N. v不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法  D/ R  J- X; s  E- F6 g' B3 O) G3 J% A

( X  \/ F  [1 S5 Z- f1 p/ K( H7 ~" F! e! f+ M
+ ?% M0 }4 w4 @' V$ K# T6 j. M
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。9 R; ^# s+ _2 ^" }
, L3 @( y/ a5 O
3 K& d( q6 G3 g! l, }* V, ^! g1 m

, ]7 N/ y$ @5 z9 b! @傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
) ^* ~2 q" `. X/ D5 }! f: h
# k( S5 @; Q3 C) P拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
8 J9 M7 a4 k+ B: K* C  U- M. v3 }  B1 X4 I, D  {* `5 V/ O

" [$ g. ^' Q& \+ w8 ^
$ `7 {4 D) w5 ]! M3 z. ]指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。0 t: p4 t9 a5 o2 ?
+ ?9 F9 y0 p4 m( b/ j0 V
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
! C% p' J  k. _; H. ?以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05  F; d, m1 Z. L7 N0 ?4 w
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
( z9 I2 W1 k* e5 U0 T' K
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
, a% g1 {! ~* y$ |6 W+ M9 H又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
4 J3 P: d$ e% {/ ~
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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