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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 " h. A( P$ u. `- _9 x5 y7 ~
6 |9 R; P5 M; e5 t
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。% |: l+ ?! h0 H7 k

1 S$ T7 G, i& q5 Z5 B* F" Q2 Y% m众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
8 t  A5 b5 h! W5 R/ |2 Y- y" D0 Q& \  E3 Y+ Z# }/ _- m2 J
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？! B, V2 b8 e% K; a

9 H$ {& T' C) R9 h- W* q& x9 X+ J& s0 ^- i9 x5 q
' z  k2 z. G8 `$ o+ l
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：) u' Q! p" {+ v2 m4 B  O7 j/ k0 t

# r7 K/ n' y" ?5 N$ p, Z8 R1 t1 N5 S
  P2 e4 X+ X+ P: f9 |+ n" V  I) K5 y
( G: i" }0 }% \; R/ A! k不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法; M# @: m8 M3 V+ s, A7 k; M( a

0 h  r" z! D1 _  y2 K: d* Z) S; v5 U" Q+ w+ o, j9 E; A
" J1 ?+ A; ^; u# g1 T0 X& S
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。3 Q; f0 t+ q7 Y- Y( G/ F
1 Q) S- Y3 P% C7 ~& ^6 p

* b8 G8 Z# x& M5 C8 r4 z5 @3 o* |
( i+ o1 U' `+ V" E; c! n+ }6 X. O: b傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？& x1 z0 |3 P+ l+ Q) f
  z- k/ ^8 \' ?+ \. _" ?
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
7 S6 \0 b! e: @! C- R/ U4 m" u; u) Q. ~; e4 ]1 }
- \- _* O4 [& ~6 @/ }2 v1 E+ k) Z( u

1 i( W4 w; N! S" U1 u, g/ k指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
# k5 J  e) b  s# @5 p! c: j' i! Q9 B$ ~
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来' ~3 u; @( Z0 @% w+ H
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:054 w0 q6 t8 z& O4 d! M3 X7 x/ x
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

. |6 K  ~7 w( `! k: i7 J对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40: }$ g1 c3 {* \
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
8 d; R7 O0 H) y  `
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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