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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题

5 C; ^$ A) N: Q5 A2 d
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
- N; |( b2 G! T( \2 f, h( _在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
1 K# @* U  i2 o% j2 ^; T% yhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
- {$ v, ~( d, u5 }
+ N  D0 W" E, a9 A0 L, W按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

, R0 p# H# y$ I/ l) d没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

0 I% z: _  b' g+ X+ W" ^老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32


  `* z4 l7 w3 Q" U, o- p* b您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
3 q6 Q: l" ~& J; x( Y2 @; s# S+ i所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
( z( K! @% V3 E8 Q您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
# E! f- C, S! A
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
, C& s* P* q" @
% }/ R2 w" s0 w  K2 {2 f5 _然后从头开始：
E(k|k)=1
+ D. m' j" n3 M7 Y+ ?& ]1 q* NE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
8 d- Z; Q5 ^/ S8 H5 E, @4 AFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
, k4 }) T7 i7 W/ F
原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 r+ N2 t) P9 M% F您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

+ t' [, h0 U: e2 o' p明白了。
6 C' i4 w6 B. ^: n是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
. P4 G7 q4 u1 o3 K多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

) n7 ]% c) M, s$ i- }) }E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

7 ?: M% j# k6 X. e' D: S; F
) v9 H9 e: S, i: r3 X递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

老福 发表于 2022-3-26 12:01
  M- w) K2 J- h- J, ]: M4 J其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
+ m6 O- w7 W0 v所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
- Z7 ^. ^; [" O
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
* `6 x( `' q( O% `% O# ~4 l) q
5 ?3 D# N  t" [" B6 M) X3 [For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
6 V- ~8 v8 w& L0 T3 O
% {/ k+ T* |' E  i1 j/ G% D. oFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
5 f. i3 P, z* B7 t4 N( W9 M+ H
! m- q! e9 ]& e3 j- g! c, h# N1 sThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
& L6 _% e+ @" u4 h6 d! Y6 Y2 M. J
/ P4 W6 J* h5 o% H5 \理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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