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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题

9 r, T! d$ f  M2 H2 f% c
其实是个概率问题。
# b7 {7 n4 b+ H那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
* m+ J& k9 F) q% U9 v2 x2 C; m在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
/ C! C- T6 _+ \1 H问题就是这个人的表述
+ p/ q" H1 D4 a# r; k9 fhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
7 N6 m# X  f* A/ K' l% m
. f; ]) O" Q6 q6 ]6 m+ Q6 R按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

, `6 E; S# c9 d! }! o8 t" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
' T& O1 h" r  y! M! N/ b* x
( Y9 b5 y: v- G" @; ^7 |没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

% G1 _, ?: Y' v: \9 N
您对答案的理解似乎有误。
; z$ {/ K! H- H1 ^$ J随机变量X是测试过的元素的数目
# @( q6 Q5 ?2 T而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
5 o% X9 j' V; ~9 Z! [$ G所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
. ^* I8 f/ ?$ N! o1 _, o. a5 ?您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
- k% P- A/ O( q  G. R. f8 l9 l4 P
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

$ I6 v' c4 }* {7 h; P" G4 G然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% o3 C- S' G7 H9 SE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
# [. ]1 F8 s8 U; c0 D% O9 ?Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

8 G2 ~) Q* `' D原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
; {7 G4 X% l( ~4 ]( D您对答案的理解似乎有误。
$ G) o& {/ p# x; O) v' N$ p随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

8 g# _2 R. L2 n5 f( j明白了。
  h2 Z1 A9 E2 d5 C  Q是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 Q4 t( r  j7 H' z. j
+ s* d# G+ ^; C递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
0 @; e7 P4 Y2 [' d$ n; ?: \: }8 k  j递归法也是可以的。

( U3 h0 E8 f: I; K. v# {其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

老福 发表于 2022-3-26 12:01
2 |0 G8 ~& h! ?/ j9 K其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
4 w$ r) p/ X$ Q6 R否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
; d! d) ~+ ~& K( o0 ]( |  p
& \8 p1 D; Y0 i而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
# {( }: f/ W0 A. o4 i# Q所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
- @  P2 X3 H. H
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
& M. P( f4 F! P* h9 d( V0 l& [
; u: O: [1 e+ K0 CFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

* N( @& C* k9 l( bFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

2 D5 q0 z8 I1 g) BThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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