爱吱声

标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
3 L4 s% Q) [$ I( D/ r) u) w在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
+ X0 i5 ^/ K1 B+ R% R, _  Yhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
( N; ^, A$ b0 k' G$ C4 p
) p) h# |: V& D5 K7 n3 u0 W按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

: I4 D3 |& w0 ~+ C, E" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
& E& s1 P3 @! {- w! U3 Z/ z5 N
) M7 c$ }* j  |7 r没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

---

作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

) q! E- P) l$ k
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
; R$ e- N1 q. |$ i- C! ]而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
8 A5 _# E  J- A; M所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

---

作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
* |1 ]0 f( ?; I9 A; }8 g
然后从头开始：
, C- M/ F7 R. p0 W' ?2 Z6 cE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
* G' w$ `; w* i( z& A. F. F5 j' s* N7 bE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

3 y, n) }- ^4 ?$ C7 e5 r4 D$ ~原文的解法有点绕，还没想明白。

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
" Z) t  P& P- M9 \您对答案的理解似乎有误。
0 _3 L( a+ \, w3 p- Q随机变量X是测试过的元素的数目
/ W& B, O* t% c# [8 x" T而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

" j5 k, i+ P' q+ E8 Q. p3 a明白了。
5 w! j2 ^! }( J3 X$ l是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
) K7 ^5 ]. y, p$ ?- d. T  `( t6 e
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

$ b5 s: ]+ w- [6 R6 Y( ]
+ D# ^9 X1 @9 u' f) G' F: i递归法也是可以的。

---

作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
% m0 f0 Z1 d. U1 L递归法也是可以的。

" z4 `/ D  ], h# Z其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

---

作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

& O8 a- f* \0 @  z0 r

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

# P& J. I( y+ }1 n# n7 ~; M
" {6 n" v  V, P* j4 A- l我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
/ `/ G# A( i' |* t- @7 C: S2 b5 }
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
% m8 n# i; P  p; E所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

---

作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
% A" K7 ~+ i: |" m+ b  h4 q
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
6 A: d: x- A" d: |5 j' D7 @
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
) @: ~2 D1 C1 }6 D* w0 q
- I/ g& o  _& \- \2 N2 dFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

) T8 v3 g, g) p: g3 r2 [There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
9 ^; s0 c6 i! l% x2 L- [! a
- }! P6 P7 m, |9 H理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

---

欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/)

Powered by Discuz! X3.2