爱吱声

标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


& Q3 v: I, f$ b/ X" j. c+ t5 s, a其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
5 i% J/ }& _; ~1 ]8 @! K3 P在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
6 Y" L3 p- A0 }; n+ uhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
8 G+ M! @5 p9 `4 w
" Q  h0 _( u8 `% X按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

. o4 k4 l0 n0 \: B没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
! Y: M: B) [* e
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

---

作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

( }+ W; f9 ]. @
您对答案的理解似乎有误。
$ _3 i- w" W0 W" g5 }随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
  @4 O1 ^/ }: N6 U/ ]2 ~所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
9 j0 J0 F. z6 J; X% Q/ ^3 i9 [+ h而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

---

作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
; i( p3 X' h8 [$ Q5 w; b
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
1 |8 z8 _- G& p( kE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

; f& R( d5 Q; S3 b& {% Z# y原文的解法有点绕，还没想明白。

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
5 R, B4 ^4 p+ P6 n1 z随机变量X是测试过的元素的数目
! l$ p6 t' ?) [( F4 a$ J) s/ Z8 A  j而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

4 {1 D' q  A# r: t4 _/ E. w明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
* M! h: S( z! I  L1 Y# a1 n8 s这个题目可以用递归的方法解决：
* O9 u1 A( y7 M+ z! F' F
1 y! e6 {2 s' {0 S5 D6 ~E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

* e  ~! b/ d; ]# M. V0 V5 o( e
4 D8 {6 q, g, L8 @递归法也是可以的。

---

作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

---

作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

) Q0 v2 I. s, F

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

1 P0 W2 Q  S8 S% e我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 [* O/ U% m5 V7 t  A9 O
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

---

作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

8 c, O' B& B7 C; e3 ^/ X  lLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
- J, E7 `) y0 a. h
& M& `/ Q5 G8 pFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
* [$ z" _/ x! B% H4 z! g
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
5 g3 i  r3 H4 Y5 U+ r, N
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

0 l# w3 Y5 \9 O) t理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

---

欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/)

Powered by Discuz! X3.2