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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题

* \: [, A1 R- D6 \7 R$ e, k4 I
( E3 b, A/ |" i: P( s# O  ^2 _2 l其实是个概率问题。
# V7 R# @( Q# f+ u1 E8 A: _' L那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
+ @( U" e- T. e0 c  w) lhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

' ^$ H$ J! j) K按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
7 u" `9 {3 O, _3 X0 q3 p& J
% t7 b$ \3 e' u5 G" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
% B; L$ E  b) T; b: V4 r3 X: ~
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
- [3 v8 Z- e! l+ K1 \: V
3 \+ p1 j/ a6 P. x6 A, P! e老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32


$ r$ O8 Y  n8 r2 z; F. x( o您对答案的理解似乎有误。
7 L) t4 F$ e& u, r" u- {随机变量X是测试过的元素的数目
7 L0 b8 [4 f  A5 C. J' x; [  [而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
) _! d; A; o, _
3 S2 N* |; N, Y0 p* sE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
3 W: F! C4 j( s8 ?" `$ d7 z
然后从头开始：
E(k|k)=1
$ ^7 J; \: Z2 ]& D/ m2 c- gE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
% z3 o1 |+ U, PFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
" B$ ]- s' Y" u! J- W2 K& p# \您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
, F2 |- h6 U0 T, b4 L$ h而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
3 f* Y& b7 l) S1 e这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

# d+ }$ S% T! h0 `: v4 N# d递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

" |1 l7 g  g6 t4 A# P1 {其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

老福 发表于 2022-3-26 12:01
: @) |* ~2 l, z% f# i7 M5 \6 w其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

# |3 ?$ m* y3 U4 [5 [
/ a7 N* ?. @" g, W, e5 G6 m) d$ m我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
! n( |# U1 U4 }( \4 ?否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
: a+ R$ j# U, F" s* W. I; K
; q3 g' Y/ @% m7 y( F2 J而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
& g3 ~2 a- k( z1 u& S) O所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
; b; m. |4 c5 U+ _' X- U
2 q; r3 {" r! s( zLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
1 M4 G4 f0 k1 R$ r/ O7 V' U9 e
& @2 n* f/ a. x  x# ~For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
% D" H2 ^: w2 w  Q
9 _' A. L. [+ G: u1 d7 lFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
2 m- }2 `: v) C  z8 W  T
7 h. w% `; w9 B  @There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
6 Q/ \  g7 t( W' V. L
. q% V6 s/ J. ]- z: i理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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