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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


$ {# w  o3 G( L" t" Q% j- d其实是个概率问题。
" h" W6 K' N! w3 ^1 T. m那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
2 L( o5 s( @' h& }7 C! p5 Uhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

: K: x/ f5 `( @" P5 x2 Z- ~+ h按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

5 @0 x) l7 O4 b2 e& V' J" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
7 A6 Q- x- Z% K9 `' O
7 a3 z. D$ P, P2 E没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
& ?( V% e6 n; x5 J( N/ y6 m, h
& L0 E$ d" y0 L  S5 M5 ]- Q, F老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32


2 h6 }7 m0 b0 D3 t您对答案的理解似乎有误。
5 f! S0 A; s2 {0 f随机变量X是测试过的元素的数目
7 E+ f2 Y. x  d而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
! K2 h; D5 h, V8 [: L% p您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
8 n7 \) A! }" w, K# m" }% H" W
然后从头开始：
" f! m1 d  ?/ k4 V! ?* J3 F  G/ fE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
! y/ A9 o8 r0 }9 o) T7 RE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
0 M$ p/ c% z0 q7 U. yFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
3 O7 ~+ C( m* L  R8 J; V您对答案的理解似乎有误。
' O; s2 G1 N( `3 v3 S随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
  I/ _5 G# ^. E0 e这个题目可以用递归的方法解决：

4 c# L, d/ y6 E; \+ oE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

! G+ G+ _8 ~$ r4 X& {0 F) ?
: S* p3 S5 h/ H, C- E递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

. X, ]# j  F" U2 b其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

6 B& R5 G: p0 w/ f7 p
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
6 a; K$ z, `' T9 G9 g) q7 r否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
, x2 M: Y% e1 {3 Q9 \5 {
- ?/ t! e6 \: ~0 Z( G3 y而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
1 m. h. o  Q* }8 w2 o! C! Z所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
# B5 Y5 s8 n  T1 W# z6 N) T
% B/ \3 E# n! }9 _5 A9 Z7 ?For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

+ F( i  Y, l3 ?3 K" m, y: ^( oFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
" k1 P' C  V0 N/ F' @4 A$ b5 _
- _- H+ W* F4 L0 z( cThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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