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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
; I; \1 ^$ h0 }" d在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
% |, [! \7 @1 Nhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
( _/ a1 T; v* t/ P
; \9 u! g) p0 V" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
5 P( Q  M5 |' W0 U$ w/ w7 [
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32


2 V8 K  O! k1 m( V! t! t  K您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
/ J4 e% {% [1 z7 d; O而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
9 n& ]1 [0 ^  q0 T& K您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
/ N5 h  R& `+ O3 P: [8 g
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
# t  b2 Y% \" j% _  Q$ N7 I/ v' K
" j: x" x; d0 _& K" U" P然后从头开始：
8 D+ J, p- L* a$ V) VE(k|k)=1
: X) q- b' m6 H5 o- {  v( _E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
5 `* S! Z4 C, {0 n5 d5 yE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
$ ]/ z9 l) {3 V+ u$ P  B; k& U1 eFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

3 c  ^/ j2 U& V1 P4 f: q5 G原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
* h7 T! z4 }2 J$ n; q5 d* n* B是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* j2 r4 w5 g0 Z; b$ i2 u多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
2 d' G% |+ W: m9 U7 Q( h" J! V这个题目可以用递归的方法解决：

% N/ l4 H8 w* H! X$ t, ?; r$ [* ?E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 X2 {# v# j0 {3 f* G递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
9 [+ q$ u, s. x! T递归法也是可以的。

' u4 k0 e, V# N其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

* {' I" Z( j1 h6 r

老福 发表于 2022-3-26 12:01
1 `1 |0 y- Q+ L( {  a$ O6 a: O& F( d其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

3 H2 [# O" g( x7 [: R我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 v- p7 [$ K7 {& w
( R; h( x3 n) u' l7 p2 U7 E1 P6 K7 r而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
) B& A( K2 t8 w所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
: R$ s! a0 `; X, A5 j
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
7 z. x# ^: Z: v" J2 a% O, J
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
  s% D, B1 K9 |! ^4 B- n6 N
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
* E: Z# G" |1 W
2 S; \& e5 @; x2 H4 n理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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