在中国语境里，哥廷根都成了神了

      但哥廷根在讲什么，其实他们并不知道

      哈哈

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        数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有 力的结果，即从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑， 数学家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结论。数学的这套方法今天仍然沿用，任何时候，谁想找一个推理的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。

       这种数学 方法所取得的成功吸引了最伟大的智者，数学已显示了人类理性的能力、根源和力量。所以他们猜测，为什么不能把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域， 比如在哲学、神学、伦理学、美学及社会科学中去寻求真理呢？人类的推理能力，在数学及自然科学中，是如此的卓有成效，肯定也将成为上述其他领域思想和行为 的主宰，为其获得真理的美和美的真理。因此，在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和定理，用到了人文事务中。

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       19世纪初的创造，包括令人奇怪的几种几何学和代数学，迫使数学家们极不情愿地勉强承认绝对意义上的数学以及科学中的数学真理并不都是真理。例如，他们发 现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻合，它们可能都不是真理。显然，自然界的数学设计并不是固有的，或者如果是的话，人类的数学都未必是那个设计的最 好诠释。开启真理的钥匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事件。

       新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的震动。寻求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用严密论证去追求那些虚无飘渺的 真理。认识到数学并不是真理的化身动摇了他们产生于数学的那份自信，他们开始重新检验他们的创造。他们失望地发现数学中的逻辑形容枯槁，惨不忍睹。

        事实上，数学已经不合逻辑地发展。其不仅包括错误的证明，推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的大错比比皆是。这种不合逻辑的发展还涉 及对概念的不充分理解，无法真正认识逻辑所需要的原理，以及证明的不够严密；就是说，直觉、实证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。

        不过，数学仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心里，特别是在柏拉图主义者看来，数学自身当然还是一个颇具魅力的知识体系，一个因具真实性 而受到青睐的部分。因此，数学家们决定弥补丢失了的逻辑结构，重建有缺陷的部分。在 19世纪下半叶，数学的严谨化运动格外引人注目。

       到 1900年，数学家确信他们已实现了自己的目标。尽管他们不得不满足于数学仅能作为宇宙的一个近似描述的观点，许多人甚至放弃了宇宙的数学化设计这一信 念，但他们的确庆幸他们重建了数学的逻辑结构。然而，他们还没来得及炫耀自封的成功，在重建的数学中就发现了矛盾。一般称这些矛盾为悖论，这是避免直接说 矛盾而破坏了数学逻辑的委婉用语。

        当时那些领头的数学家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，结果他们构想、阐述甚至推出了四种不同的数学结构，每一种都有众多的追随者。那些基础的学派 不仅努力解决已有的矛盾而且力争避免新的矛盾出现，就是说，建立数学的相容性。在这些基础研究中又出现了其他的问题，某些公理和演绎逻辑推理的可接受性也 成为几个学派采取不同立场的重要原因。

        到 1930年，数学家已满足于接受几种数学基础的一两个，并且宣称自己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难再次降临，形式是K．哥德尔的一篇著 名论文。哥德尔证明了那几个学派所接受的逻辑原理无法证明数学的一致性。这还不包括论文里其他一些意义重大、影响深远的结果。哥德尔表明，对已取得的成功 提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理引起一场巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如，就连过去极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化 ——演绎方法看来也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同时也把数学家分成了更多的相异群体。

        数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于种种原因每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、正确无误的推理体系—— 1800年时的尊贵数学和那时人的自豪——现在都成了痴心妄想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满。关于“最确定的”科学的基础 意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。目前的数学或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓完美无缺的逻辑的拙劣模仿。

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1840年鸦片战争之前的科学是什么

       作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日起的两千多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。

        在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提供精髓。尽管通过数学和科学的合作才获得的知识用到了自然定律，但它们看来似乎与绝对的数 学真理一样绝对可信，因为天文学、力学、光学、空气动力学中的数学所做的预测与观察和实验相当吻合。因此，数学能牢固把握宇宙的所作所为，能瓦解玄秘并代 之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯瞰他周围的世界，吹嘘自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列数学定理）。拉普拉斯的话概括了数学家们一直在 不懈地寻求真理的信念。他说，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律。

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       对于我个人来说，有一种办法来解决这个问题，度量的办法

      不是逻辑的，而是度量的

      人工创造一个东西，理想化的东西，用这个东西来度量现实。

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      其实在哥廷根也是如此，

       恰如在物理学中，词"热"和“冷”得到准确的科学意义仅在能够量测温度之后。

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      柯郎在1962、1964 写的，都没有超过我这篇文里的思想

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      度量和数论是50年代的高峰

     正像陈省身的哥们所说，我上学的时候，哈代已经落伍了

      从度量到拓扑也不好讲清楚

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       集合与集合之间的性质，度量搞不定这个

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      连续的量 ——  空间、延伸 ，是通过度量才跟 “数” 发生关系



注：其它的我也搞不明白，鬼知道是什么东西