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从欧几里得到微分几何-什么是几何学

热度 1已有 274 次阅读2016-12-3 20:40 | 欧几里得, 几何学

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    这个东西，其实不好讲。现在数学的基础是算术，不是几何了

       《从欧几里得到微分几何-什么是几何学》网上自己找吧，不贴了

         注意 “度量” 的概念，还有 “向量”

         陈省身一讲，讲的好简单

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        你用一般性来解决现实问题，包含的信息必须非常多，肯定会用到 n 维空间的

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为什么会用到矩阵，抛弃“向量空间”

       对于刚体的平移运动来说，刚体上任意点的平移和数学中的“向量空间”具有相同的结构，数学中称为“同构”（isomorphism）。

       有的同学已经按耐不住要说："这是显而易见的"。要注意的是，之所以显而易见是因为平移和我们生活所在的欧式空间规律太过相似，以至于大家有点“视而不见”。

         进一步，我们要考虑比较 “挠头” 的旋转。旋转揭示出：向量空间方法并不能描述世间所有的事物，必须引入其他结构。

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         我们考虑如何用数学描述旋转。一个直观且简单的想法来自刚才我们成功地用向量空间描述平移这件事情，

        我们会惊喜的发现这些序列在这两种运算下还是封闭的。于是乎，我们高兴的将线性代数的结论运用在旋转之上，直到有一天我们不幸的发现：旋转和我们生活的三维欧式空间并没有相似的结构。举个例子，接连两个旋转之间，顺序不同，结果有可能不一样

        长方体先沿x轴转90度，再沿y轴转90度。先沿y轴转90度，再沿x轴转90度。最后竟然出现了不同的结果。

        这说明旋转和我们生活的欧式空间不一样（两次旋转不满足交换律）。那旋转到底具有什么样子的结构呢？

        为了降低对象的复杂度，这里并不打算直接讨论三维旋转，而是从一维旋转说起。假设刚体沿着定轴旋转，任取刚体上转轴外一点，则此点的轨迹呈现为一个弧。

点和角度一一对应，也就是说一维旋转可以用单位圆来描述

首先，我们要说明向量空间方法不可行。图中表示了接连两次旋转 $.[{.theta _1}.]$ 、 $.[{.theta _2}.]$ 对应的向量 $.[{{.bf{v}}_1}.]$ 、 $.[{{.bf{v}}_2}.]$ 。但是问题是这两次旋转的运算结果 $.[{{.bf{v}}_3}.]$ 并不能用向量的加法或者数乘得到（根据向量空间的加法的平行四边形法则，结果应该是 $.[{{.bf{v}}_4}.]$ ），而看上去可以用中学曾经学过的某个东西......到底是什么呢？对，是欧拉公式： $.[{e^{i.theta }} = .cos .theta + i.sin .theta .]$ 。

也就是说旋转变换用"复数乘法"描述

所以，旋转是用群结构建模的。复数群与旋转群SO(2)之间的关系可以通过"复数的矩阵表示"联系，

因此，我们放弃向量空间的尝试，而使用复数或者矩阵来表示一维旋转。

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上述内容主要讨论了旋转的代数层面，也即旋转用什么表示？运算法则又是什么？这样的问题。为了进一步讨论几何层面，我们需要先建立一些直觉。我们习惯地把直线（比如一根筷子）、平面（比如广场）等等满足向量空间运算法则的东西叫“平直的（Flat）”的空间。而圆（比如呼啦圈）、球面（地球表面）等等这样的东西叫“弯曲的（Curved）”空间。流形（Manifold）就是曲线、曲面的高维推广。从一维旋转引申出的一个问题是：为什么我们不用直线或者平面描述一维旋转？因为旋转不满足向量空间运算（从上图可以看出，平行四边形法则得出的结果在圆之外）。

下面就来讨论三维旋转的几何。根据以上的讨论，我们知道了旋转并不是一个平直的东西（满足向量空间运算法则的空间）。特殊地，一维旋转看起来像一个圆，那么三维旋转看起来像什么？由于维数超出了三维空间，我们无法直观描述，只能根据数学公式构想。根据我们的直觉，一个9变量的矩阵描述的貌似是一个9维欧式空间。存在6个约束，那么旋转这个怪物好像是一个三维的东西。没错，旋转就是一个嵌在9维欧式空间中的3维怪物，但是这个怪物不是一个平直的三维空间（就是我们生活的日常空间），而是被极度扭曲的流形（Manifold）。

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        群的概念也跟伽罗瓦没什么关系，他生前论文就没有发表。

        主要是凯莱重新提出的。

        跟位错一样，主要是后来人的工作，例如泰勒

       这都是向前追溯，当不得真

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       凯莱是数学史上第三位最多产的数学家，仅次于欧拉和柯西。

       凯莱 1853年在物理光学中发现的新的群, 以及矩阵运算构成的群等等, 那么在意识到具体群的多样性之后, 人们便会试图将它们的共同特征提炼出来, 寻找其本质, 因此人们便开始将群抽象化. 在这过程中包括很多数学家的工作, 但几乎所有的文献在介绍时都会首先提到凯莱, 有的甚至说凯莱首先提出了群的“抽象”定义.

        矩阵、群，都是凯莱提出的。来自于几何光学的研究，

       还有就是布尔的启发，布尔当时正在研究符号逻辑。正式定义是克莱因的学生代克作出的

       但是这个抽象的原始思想，还是来自于英国的符号逻辑。（代克也是来自于凯莱，其实就是来自于布尔。）

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中国的东西学德国太多，把他们的谬论也学习过来了。（从原发思想的角度从哪来的，而不是最后总结，那是代克总结的）

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        向量空间这个概念也是凑的，在1844年之前，这到底是个什么东西，没有人知道。

       平行四边形法则，在古希腊就提出了。近代主要是牛顿在《自然哲学之数学原理》中阐述，但是他没有想到这是一种“向量加法”运算。

       后经欧拉、蒙日、柯西，弗里斯，最后拉格朗日在1811年的《分析力学》中，把转动分解到笛卡尔坐标系中两个互相垂直的轴上，并证明了这种分解和运动问题中的平行四边形法则相一致。

      与拉格朗日同时代的拉普拉斯、泊松、潘索也在向量力学方面取得了突出的成就。

向量空间，“我们正在用它,却忽视了它的存在“ ，就是一直在用它，但它到底是一个什么东西呀，没人知道。

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群在物理、化学、生物、计算机科学等学科中也有重要的应用,

法国结晶学家奥古斯特·布拉维(Auguste Bravais, 1811 − 1863) 就是利用群论的成果, 从理论上得出自然中总共有 32 种结构的晶体.

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格拉斯曼其实还有一篇文叫做《潮的理论》，他看过拉格朗日的《分析力学》，并提出一种不同于拉格朗日的新分析，重构拉格朗日著作的所有成果，并且方法比拉格朗日简单。