Monty Hall问题

         假设你是一个嘉宾，正在参加一个电视竞猜节目，在节目现场有三扇一模一样的门，节目承办方事先在这三扇门后面分别放一辆轿车和两头山羊。节目一开始，主持人请你从这三扇门中选择一扇，然后对每扇门后藏有什么了如指掌的主持人打开了另一扇有山羊的门，最后问你，你是否愿意放弃一开始选择的门转而选择剩下的那扇未打开的门？改变选择是否比不改变选择更有利？
 
       与赢得汽车相关的事件样本空间为 = { 车, 羊, 羊} , 基本事件的个数为N = 3。根据古典概率的定义, 各门的有车概率为1/ N= 1/ 3。当主持人开出一扇无车门时, 相当于样本空间的事件个数由N 收缩到N- 1, 因此, 各未开启门的有车概率变为1/ ( N - 1) = 1/ 2。主持人开启无车门的动机与概率计算无关, 因概率计算空间收缩而导致的概率归并在各未开启门上总是平均分配的。

        而事实是, 在主持人有意开启无车门的情况下, 事件的样本空间被隐性的划分为二部分：

        A 部分的基本事件数为1( 1 号门) , B 部分的基本事件数为2( 2 号门、3 号门) 。A 部分的有车概率是1/ 3, B 部分的有车概率为2/ 3。当主持人在B 部分有意开启3 号无车门时,由此导致的样本空间收缩是非随机的 ,  3 号门的有车概率只归并到2 号门。因此, 在概率计算空间收缩后, 被开启门的有车概率不是均匀归并于各未开启门; 而是归并于B 部分的未开启门。


        自然与直观的初等概率空间是解不了这个题的，要用到 Kolmogorov 的公理系统 。

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概率理论直接的研究对象并不是随机现象，而是为研究随机现象所作的随机试验(Random Experiment)。

那么，什么是随机试验呢？概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备如下三个特征：

（1）在相同条件下该试验是可以重复的；

（2）试验的全部可能结果不止一个，且都是事先可以知道的；

（3）每次试验都会出现（发生）上述可能结果中的某一种结果，但至于是哪一种结果、则事前无法预知。

当我们确定了随机试验E之后，称试验E的每一个可能结果为样本点（Sample Point），并称由全体样本点的集合为试验E的样本空间（Sample Space），

不同的试验对应不同的样本空间是很自然的，

例 如，某同学打篮球投篮，这当然是一个随机现象，因为他可能投中也可能投不中，也就是说他每次投篮是否能投中具有随机性。假设我们现在要考察该同学投篮的命 中率，我们可以设计如下两种不同的随机试验。试验1E是：让该同学先后投篮10次，看他其中能投中几次；试验2E是：请该同学连续投篮直到投中为止，看该 同学共需要投几次才能投中。由于所设计的随机试验不同，因而所产生概率空间就不同，从而以后所运用的概率分析方法也就不一样。