克莱因的《数学在19世纪的发展》一书就像是在讲述德国这个国家的数学史，只是安排的章节顺序比较有意思，把 “高斯”这一节放到了第一章。其实德国的数学还是来自于法国。克莱因的这本书是柯郎(R.Courant)编辑的，柯郎是希尔伯特的助教。柯郎是一个很重要的人物，差不多可以把德国数学的思想源流完全覆盖。

       柯郎在《什么是数学》一书中说，世世代代以来，数学家一直把他们研究的对象，例如数、点等等，看成实实在在的自在之物，但是，准确地描述这些实体的种种努力总是被这些实体自身给否定了。从而十九世纪的数学家逐渐开始懂得，要问当作实体的这些对象究竟是什么，这是没有意义的，即使有的话也不可能在数学范围内得到解决，所有适合它们的论断都不涉及这些实体的现实，而只说明数学上“不加定义的对象”之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则。至于点、线、数，“实际上”是什么，这不可能也不需要在数学科学中加以讨论。“可验证”的事实只是结构和关系：两点决定一直线，一些数按照某些规则组成其他一些数，等等。基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要和最丰富的成果之一。

       这个看弗雷格的《算术基础》，讲的超清楚。

       数理逻辑发展史  见  希尔伯特 《数理逻辑基础》导言。

    戴德金从1858年开始教授初等微积分时，就打算为微积分奠定一个稳固的基础，他在11月24日得出了自己的连续性及无理数理论，并在几天之后就告诉了他的朋友H．杜瑞热(Durege)，但直到1872年才以小册子形式《连续性与无理数》(Stetigkeit undIrrationale Zahlen)出版．这本书的问世，连同魏尔斯特拉斯的分析基础的传播以及康托尔的集合论的诞生，标志着现代数学新时期的来临．戴德金无理数概念是建立在承认有理数为已知的基础上，于是他再接再厉，于1872年到1878年进一步研究自然数的基础，他的结果写于1888年出版的《数是什么？数应当是什么？》(Wassind und was sollen die Zahlen？)，这本书有很大影响，特别是影响G．皮亚诺(Peano)得出其著名的算术公理．

注：网上可以下到英文版《 Essays on the Theory of Numbers, by Richard  Dedekind 》

       戴德金的的父亲是一位法学教授，母亲是一位教授的女儿．戴德金是四个孩子中最小的，7岁起在家乡上中学．开始他对化学和物理学很有兴趣，而把数学只看作是辅助性学科．但是，他很快就感觉到物理学缺少条理和严格的逻辑结构，于是就专心学习数学．1848年戴德金进入了卡罗琳学院，这也是C．F．高斯(Gauss)的母校．在这里，他学到了解析几何、代数分析、微积分以及力学和自然科学．1849—1850年间，他还给低年级学生授课．1850年复活节，他进入格丁根大学学习时，已经有了相当的根底．当时格丁根大学刚建立起数学和物理学讨论班，在这里他跟M．A．斯特恩(Stern)学到数论的基础知识，跟W．韦伯(Weber)学习物理．1851年B．黎曼(Riemann)也参加讨论班，他们很快结下了深厚的友谊．戴德金在大学里还学习物理和天文，并听过高斯讲的最小二乘法，还听过他的高等测量学以及其他人开的课程，他只上了四个学期，就在高斯指导下准备博士论文．论文题目是“关于欧拉积分的理论”，对此高斯写了如下的评语：“戴德金先生准备的论文是关于积分学的一项研究，它决不是一般的．作者不仅显示出对有关领域具有充分的知识，而且这种独创性也预示出他未来的成就．作为批准考试的试验论文，我对这篇论文完全满意．”这时戴德金觉得虽然他的知识教“中学”富富有余，可是他总觉得格丁根的课程度不高．在格丁根，听不到P．狄利克雷(Dirichlet)、C．雅可比(Jacobi)、J．施泰纳(Steiner)讲授的高等数论、高等几何、椭圆函数、数学物理等最新的课程，因此他花两年时间又弥补他受教育的不足．1854年夏天，他取得大学讲课资格，年底开出概率论和几何两门课程．1855年高斯去世后，狄利克雷来到格丁根，接替其教授职位．戴德金自己讲课，同时也听狄利克雷讲授的数论、位势理论、定积分及偏微分方程等课程，获益匪浅．他很快同狄利克雷有了密切的交往，并同他进行了多次富有成果的讨论．据戴德金后来回忆，狄利克雷把他变成一个新人并大大扩展了他的学术方面的视野．他也参加了狄利克雷和他的朋友们的社交活动．1855年冬季到1856年，戴德金听黎曼讲授了阿贝尔函数和椭圆函数的课程，他自己也在1856—1857年和1857—1858年冬季学期，先后给四个学生讲授伽罗瓦理论．他可能是第一个开伽罗瓦理论课的人．在讲课中，他引进了域的概念，并且把置换群的概念用抽象群的概念来取代．

　　1858年戴德金被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授，在讲授微积分的课程中深感到分析基础的薄弱，从此开始实数理论基础的研究．1859年9月，戴德金陪黎曼到柏林大学访问，在这里他遇到了K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)，也遇到了L．克罗内克(Knonecker)．1862年，他被家乡的高等工业学院聘请为教授，于是他返回故乡，一直在不伦瑞克工作，直到1916年2月12日去世，他终生未婚，同他二姐住在一起．在他亲属的关怀下，他有充分的时间和自由从事基础数学的研究工作，但是不伦瑞克是个小地方，他同别人的交流不是太多．他有时也到外地旅游，曾在1874年遇到了G．康托尔(Cantor)，两个人的思想交流和书信往来推动了集合论的诞生．

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       狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C.F.高斯（Gauss）为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期。狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C.G.J.雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物。

        狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长。狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零钱购买数学图书。1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生。两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G.欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识。

      16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业。当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家，诸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒让德(Legendre)、J．傅里叶(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克鲁瓦(Lacroix)、J．B．比奥(Biot)等等．

　　1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读；其间因患轻度天花影响了听课，幸好时间不长．1823年夏，他被选中担任M．法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师．法伊是拿破仑时代的英雄，时任国民议会反对派的领袖．狄利克雷担任此职，不仅收入颇丰，而且受到视如家人的善待，还结识了许多法国知识界的名流．其中，他对数学家傅里叶尤为尊敬，受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深．另一方面，狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算术研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的钻研．据传他即使在旅途中也总是随身携带此书，形影不离．当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人．可以说，高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈．

        高斯的《算术研究》创立了真正意义的现代数论，决定了后来数论的整个发展。高斯是完全出于自己的愿望，完全依靠自己的力量，而不是受到任何外界刺激来完成这一研究的。绝无瑕疵的系统演绎，有着无可怀疑的严格性，绝不能显示出作者从事发现时的想法，以及他所克服的困难。文中的陈述并没有联系到任何的一般观点，也没有考虑所提出问题的意义，因此，高斯的这本书极难阅读，只是通过狄利克雷解释性的讲演，这本书才得到了它应有的影响，狄利克雷的讲演，对高斯关于这个问题的陈述和他的思路，给出了绝佳的介绍。

注：至于高斯是不是这么想的，who care ，哈哈

　　1825年11月，法伊将军去世．1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位，而由科隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获讲师资格的必要条件)，后升任编外教授(extraordinary professor，为介于正式教授和讲师之间的职称)．

　　1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授)，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士．同年，他和哲学家M．门德尔松(Mende1ssohn)的外孙女丽贝卡•门德尔松-巴托尔特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)结婚．

　　1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究)．可惜美景不长，1858年夏他去瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病．狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．　　

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        初始原因对于我们是未知的，但它们服从简单而不变的规律，这些规律可以通过观察而发现，研究它们是自然哲学的目的。

        和重力一样，热贯穿在宇宙间的一切物质之中，它的射线充斥于空间的所有部分。我们这部著作的目的，就是要揭示这种元素所服从的数学规律。

        牛顿体系的完美性：它们告诉我们，大多数不同的现象都服从于在一切自然作用中都再现出来的少数基本定律。人们认识到，同样这些原理控制着星球的一切运动，它们的形状，它们的过程的不等性，海洋的平衡和振荡，空气和发生物体的谐波振动，光的传播，毛细作用，流体的波动，总之，一切自然力的最复杂作用，因此，牛顿的这样一个思想被确认了：几何学引以为荣的，是以如此之少而提供如此之多。

        对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。

                                                                                                                    ————  傅立叶《热的解析理论》


        傅立叶曾就读于巴黎高师，1795年，巴黎理工学校成立，傅立叶被任命为该校的助教，协助拉格朗日、拉普拉斯和蒙日从事数学教学，他在数学教学上创用的“讨论式教学法”颇受当时学生们的欢迎。1798年，蒙日选派他跟随拿破仑一起去远征埃及。

        傅立叶的重要科学贡献在于他写的一部经典数学著作《热的解析理论》，这部经典巨著将欧拉、丹尼尔柏努利 在一些特殊情况下应用的三角级数方法发展成为内容丰富的一般理论—— 三角级数，后来命名为“傅立叶级数”。

注：法国只提供了代数和分析的教程，几何学当时法国没有大的突破。