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- 2分/3分投篮题
假设两个队比赛,A队只投两分,命中率100%,B队只投三分,命中率66.6%,两队篮板球能力相当,另外犯规、罚球、抢断、失误、盖帽都是零,请问长时间打下去,哪个队会赢?
============================作者的答案============================
答案是只投3分的B队会赢,而且不是赢一点,是碾压性的优势获胜。在讲解原因前你必须知道两条最基础的篮球规则:
1、当你投进球后,就换对手发球
2、投不进的球从空中落下叫篮板球,谁有本事抢到,谁就可以继续进攻
A队命中率100%没啥可说的,B队命中率66.6%,就会产生334个篮板球,假设这些篮板球全部被A队抢走,那实战中的情况是两队轮换交替出手。A队进攻1000次,B队也进攻1000次,比分是2000:1998,A队赢2分。但题目里说的很清楚,“两队篮板球能力相当”,334个篮球板,B队哪怕只抢到30个,就可以多投30次,轻松击败A队。
很多人脑子转不过来,是因为没想通实战中B的出手次数>A的出手次数,A因为百发百中,投进后球权自动交换给B,所以每一次A投完下一次一定是B投,而B投完有一定概率抢到篮板,可以继续投。所以如果列一个出手攻击表的话大概是这样的:
ABABABBABABABBABABABABBABABABBABABABABABABBAB
只有连续投篮的BB,没有连续投篮的AA,所以最后B大胜。
以前我们总是觉得三分球40%的命中率,大概相当于60%的两分球命中率,可是通过上面这道题你会发现,40%的三分球命中率还有隐含的杀伤力加成,真实效果大约相当于66%的两分球命中率。
现在NBA有一个叫库里的神投手,三分球高达45%,真实效果大概相当于75%的两分球命中率,从这个角度看,他的攻击效率是篮球史上最高的,远超公认的篮球之神乔丹。所以有很多人说,这个191的矮瘦小个子正在改变人们对篮球这项运动的认识。
======================可惜我不太同意=======================
作者的核心论据:ABABABBABABABBABABABABBABABABBABABABABABABBAB
只有连续投篮的BB,没有连续投篮的AA,所以最后B大胜。
可是问题在于,BB ,BBB,BBBB,BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB,能够出现的前提是,前N个B都没有投中,否则就该A出手。
因此,期望B=BB =BBB=BBBB=BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB=2
所以,作者的问题是,只考虑了概率,而忽视了条件概率。
所以,结论不赞同。
==================================后来的讨论====================================
原作者很聪明,他把问题转化成了,ABABABB这样的出手表作为中间步骤,然后再把单次的期望代入就行了。
我只是不赞同他代入的过程。
其实唯一的变数就是B不中,然后1/2抢到篮板,然后又1/3不中。所以每个“小”循环是:
ABA
ABBA
ABBBA
AB。。。BA
因为B连投的前提是前N次不中,所以代入期望值,就是ABA。。。。。。这样。
陷阱有两个:
1、忽略得分后改由对手发球的条件。这样会认为例如BBB=6,从而得出B大胜的结论。原作者就这样。
2、注意到了1,但是忽略篮板A也能抢到。这样会得出B小胜的结论。
B下一次连投的概率是1/6,用等比数列求和,就是1/(1-1/6)=1.2,只能说B的投篮次数多了。
用仁兄的公式, B=A+(1-M)B/2这是B的得分。
但是 A也能抢到篮板:A=A+(1-M)A/2
我一开始相信作者的答案,后来发现不对。反复推翻自己的结论很多次,确实烧了不少脑细胞。
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另外,没人注意到是两道烧脑题吗?
另一个是三门问题(Monty Hall),这个隔一段就有人提出来,我就不提了。
独角兽: 在篮板球平手的情况下,两队的进攻机会是一样多的,那么得分就是进攻数乘以每次进攻的得分期望,就是都是2分啊。我就这么决定了 ...
明月回春: 作者的出手表是很好的思考方式,但是他直接就当作期望就不对了。
独角兽: 我改答案了,我认为是B赢。A,B进攻的次数是一样的(进攻一次就是拿球到球到对方手里为止,不管是因为进球还是丢了篮板球)。那么进攻的顺序肯定是ABABAB,,, ...
sduivy: 假如A进攻,必中,所以有一个A。然后B进攻,假如没中,篮板二分之一,假如A获得了篮板,那么A必中,此时不就是AA吗? ...
明月回春: 你的思考路线已经跟作者一样了。
但是,篮球的规则,或者此题规则
1、当你投进球后,就换对手发球。
所以,B有17%的机会投两次,这个没错。
但是,B一定是第一次 ...
独角兽: 这个不得分的情况考虑了啊,就是命中率啊。所以每次出手得分的期望是3*0.66啊
独角兽: 这个不得分的情况考虑了啊,就是命中率啊。所以每次出手得分的期望是3*0.66啊
仁: 假设3分队透了y个球,这个队进球数是y*2/3。2分队的投篮数就是y*2/3 +y* 1/6=y*5/6.
3分队得分是2y, 而2分队的得分是y*5/3. 所以投三分的队赢得比赛。
同样的 ...
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