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日志

两道烧脑逻辑题

热度 26已有 3114 次阅读2016-3-17 09:43 |个人分类:野狐禅| 篮板球, 命中率, 而且, 罚球, 篮球

- 2分/3分投篮题


假设两个队比赛,A队只投两分,命中率100%,B队只投三分,命中率66.6%,两队篮板球能力相当,另外犯规、罚球、抢断、失误、盖帽都是零,请问长时间打下去,哪个队会赢?








































































============================作者的答案============================

答案是只投3分的B队会赢,而且不是赢一点,是碾压性的优势获胜。在讲解原因前你必须知道两条最基础的篮球规则:


1、当你投进球后,就换对手发球

2、投不进的球从空中落下叫篮板球,谁有本事抢到,谁就可以继续进攻


A队命中率100%没啥可说的,B队命中率66.6%,就会产生334个篮板球,假设这些篮板球全部被A队抢走,那实战中的情况是两队轮换交替出手。A队进攻1000次,B队也进攻1000次,比分是2000:1998,A队赢2分。但题目里说的很清楚,“两队篮板球能力相当”,334个篮球板,B队哪怕只抢到30个,就可以多投30次,轻松击败A队。


很多人脑子转不过来,是因为没想通实战中B的出手次数>A的出手次数,A因为百发百中,投进后球权自动交换给B,所以每一次A投完下一次一定是B投,而B投完有一定概率抢到篮板,可以继续投。所以如果列一个出手攻击表的话大概是这样的:


ABABABBABABABBABABABABBABABABBABABABABABABBAB


只有连续投篮的BB,没有连续投篮的AA,所以最后B大胜。


以前我们总是觉得三分球40%的命中率,大概相当于60%的两分球命中率,可是通过上面这道题你会发现,40%的三分球命中率还有隐含的杀伤力加成,真实效果大约相当于66%的两分球命中率。


现在NBA有一个叫库里的神投手,三分球高达45%,真实效果大概相当于75%的两分球命中率,从这个角度看,他的攻击效率是篮球史上最高的,远超公认的篮球之神乔丹。所以有很多人说,这个191的矮瘦小个子正在改变人们对篮球这项运动的认识。


======================可惜我不太同意=======================

作者的核心论据:ABABABBABABABBABABABABBABABABBABABABABABABBAB


只有连续投篮的BB,没有连续投篮的AA,所以最后B大胜。


可是问题在于,BB ,BBB,BBBB,BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB,能够出现的前提是,前N个B都没有投中,否则就该A出手。

因此,期望B=BB =BBB=BBBB=BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB=2

所以,作者的问题是,只考虑了概率,而忽视了条件概率。

所以,结论不赞同。

==================================后来的讨论====================================

原作者很聪明,他把问题转化成了,ABABABB这样的出手表作为中间步骤,然后再把单次的期望代入就行了。

我只是不赞同他代入的过程。
其实唯一的变数就是B不中,然后1/2抢到篮板,然后又1/3不中。所以每个“小”循环是:
ABA
ABBA
ABBBA
AB。。。BA
因为B连投的前提是前N次不中,所以代入期望值,就是ABA。。。。。。这样。
陷阱有两个:

1、忽略得分后改由对手发球的条件。这样会认为例如BBB=6,从而得出B大胜的结论。原作者就这样。

2、注意到了1,但是忽略篮板A也能抢到。这样会得出B小胜的结论。
B下一次连投的概率是1/6,用等比数列求和,就是1/(1-1/6)=1.2,只能说B的投篮次数多了。

用仁兄的公式, B=A+(1-M)B/2这是B的得分。
但是 A也能抢到篮板:A=A+(1-M)A/2


我一开始相信作者的答案,后来发现不对。反复推翻自己的结论很多次,确实烧了不少脑细胞。

=========================================================

另外,没人注意到是两道烧脑题吗?

另一个是三门问题(Monty Hall),这个隔一段就有人提出来,我就不提了。

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发表评论 评论 (93 个评论)

回复 玩牌也 2016-3-17 10:37
作者把B投不中的也算得分了。

不會出現兩個B在一起的,因爲A百發百中。
回复 独角兽 2016-3-17 10:43
我还没有完全确定。但是感觉上,如果B的命中率是三分之二的话,两队应该是平手的。还得再想想看
回复 独角兽 2016-3-17 10:46
在篮板球平手的情况下,两队的进攻机会是一样多的,那么得分就是进攻数乘以每次进攻的得分期望,就是都是2分啊。我就这么决定了
回复 sduivy 2016-3-17 10:53
应该是有连续的AA,没有连续的B。
回复 MacArthur 2016-3-17 11:04
他自动把“连续投篮”给引申为“连续命中”了。。。 A可以,B不行
回复 明月回春 2016-3-17 11:07
sduivy: 应该是有连续的AA,没有连续的B。
没有AA,只有BBB
回复 四处张望 2016-3-17 11:10
独角兽: 在篮板球平手的情况下,两队的进攻机会是一样多的,那么得分就是进攻数乘以每次进攻的得分期望,就是都是2分啊。我就这么决定了 ...
66.6%,所以还不到2分,B得输
回复 明月回春 2016-3-17 11:12
独角兽: 在篮板球平手的情况下,两队的进攻机会是一样多的,那么得分就是进攻数乘以每次进攻的得分期望,就是都是2分啊。我就这么决定了 ...
作者的出手表是很好的思考方式,但是他直接就当作期望就不对了。
回复 明月回春 2016-3-17 11:28
MacArthur: 他自动把“连续投篮”给引申为“连续命中”了。。。 A可以,B不行
他就是在这里混淆了
回复 独角兽 2016-3-17 11:35
明月回春: 作者的出手表是很好的思考方式,但是他直接就当作期望就不对了。
我改答案了,我认为是B赢。A,B进攻的次数是一样的(进攻一次就是拿球到球到对方手里为止,不管是因为进球还是丢了篮板球)。那么进攻的顺序肯定是ABABAB,,,, 可是每次进攻A的出手次数是1次,而B的次数是1.17次,也就是B有17%的机会是投两次的。所以是B赢了。如果要打平,B的命中率应该是33.3%. 感觉有点夸张,但我觉得是对的。可以编程算它10万次,验证一下。
回复 sduivy 2016-3-17 11:41
明月回春: 没有AA,只有BBB
假如A进攻,必中,所以有一个A。然后B进攻,假如没中,篮板二分之一,假如A获得了篮板,那么A必中,此时不就是AA吗?
回复 明月回春 2016-3-17 11:45
独角兽: 我改答案了,我认为是B赢。A,B进攻的次数是一样的(进攻一次就是拿球到球到对方手里为止,不管是因为进球还是丢了篮板球)。那么进攻的顺序肯定是ABABAB,,, ...
你的思考路线已经跟作者一样了。
但是,篮球的规则,或者此题规则
1、当你投进球后,就换对手发球。
所以,B有17%的机会投两次,这个没错。
但是,B一定是第一次没得分,否则就得还给A。
所以,无论B连续投几次,前N次都是0分的。
回复 明月回春 2016-3-17 11:48
sduivy: 假如A进攻,必中,所以有一个A。然后B进攻,假如没中,篮板二分之一,假如A获得了篮板,那么A必中,此时不就是AA吗? ...
这里说的是出手表,不是得分表。
这是原题作者思维方式高的地方,可惜结论是另外一回事。
回复 独角兽 2016-3-17 11:59
明月回春: 你的思考路线已经跟作者一样了。
但是,篮球的规则,或者此题规则
1、当你投进球后,就换对手发球。
所以,B有17%的机会投两次,这个没错。
但是,B一定是第一次 ...
这个不得分的情况考虑了啊,就是命中率啊。所以每次出手得分的期望是3*0.66啊
回复 2016-3-17 12:06
假设3分队透了y个球,这个队进球数是y*2/3。2分队的投篮数就是y*2/3 +y* 1/6=y*5/6.

3分队得分是2y, 而2分队的得分是y*5/3. 所以投三分的队赢得比赛。

同样的算法可以算出两队持平时三分队需要的命中率。
回复 煮酒正熟 2016-3-17 12:11
独角兽: 这个不得分的情况考虑了啊,就是命中率啊。所以每次出手得分的期望是3*0.66啊
问题在于如果发生抢篮板的话(必然是在A队的篮下),导致抢篮板的B队的这个投篮必然没中,所以投篮命中率66.6%在这完全不适用。对于已经发生的事实,就只有0和1;只有对未发生的情况做研判时才会引入概率
回复 明月回春 2016-3-17 12:18
独角兽: 这个不得分的情况考虑了啊,就是命中率啊。所以每次出手得分的期望是3*0.66啊
B每次的期望是0.66,但是,得分后球就给对方了。所以,BB、BBB是出手,而不是得分。
B必须没有投中,然后抢到篮板,才能有BB发生。
对于,BB之类直接算期望不合适,需要考虑条件概率。
回复 2016-3-17 12:18
大家把简单问题复杂化了。只要有一半的命中率,投三分的队就可以和投二分的队打平手。
回复 明月回春 2016-3-17 12:21
: 假设3分队透了y个球,这个队进球数是y*2/3。2分队的投篮数就是y*2/3 +y* 1/6=y*5/6.

3分队得分是2y, 而2分队的得分是y*5/3. 所以投三分的队赢得比赛。

同样的 ...
你跟独角兽一样,也跟原作者一样。。。
回复 独角兽 2016-3-17 12:25
明月回春: 你的思考路线已经跟作者一样了。
但是,篮球的规则,或者此题规则
1、当你投进球后,就换对手发球。
所以,B有17%的机会投两次,这个没错。
但是,B一定是第一次 ...
但是B投中一次是三分啊。所以要算得分的期望啊
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