和河蚌兄探讨一下数学教育
本帖最后由 黑洞的颜色 于 2015-11-25 10:21 编辑一稿两发，方便讨论
http://www.aswetalk.net/bbs/blog-3812-54572.html
小小修改，去掉了一点与主题关系不大的个人信息。
河蚌兄提出讨论‘数学思维的培养’，尤其是初中到高中阶段，目标是帮助孩子在这个阶段取得好成绩。近期直接的好处就是如果能做到在省级名列前茅，对升入理想大学有帮助。长远来看希望能够帮助他们将来在理科相关专业中的学习。
我的小孩在美国上高中，和国内环境差别很大。我们属于放羊型家长，小孩的数学只是早期帮助决定了一下方向（7年级我决定不送他去上大学开的高级数学班）。总之觉得实在自己没啥教育子女的经验可提。然而看到大家的热烈讨论，想了想还是有点触动，写点东西算是芹献，也是梳理一下自己的想法。
我觉得我们应该意识到，学好初高中数学为大学理科学习打好基础，在初高中阶段竞赛中取得高分（包括到奥数级别），以及将来做数学研究这几个目标是相互联系但是（对于大多数人）有着不同的要求和策略的。个人觉得原因是在小学（算数）， 中学， 大学（非数学专业）各阶段，就数学思维上说，是相当不同乃至偶尔有冲突的。正如燕庐敕 兄76楼所言 “思维方式完全不同”。
将来做数学研究的话，我觉得需要真正的天赋，还要有相当的运气（想一想张益唐）。所以我的私心不希望孩子走这条路。对于天才如高斯，牛顿，华罗庚之类，这些都不是个事儿。那么对于有天赋但（现在还看不出）天才的该怎么办呢？以研究数学为目标的话，我同意四处张望 兄 在 85楼所说“快速升阶接触到人类新近的文明成果是更有实际意义的”（以下各楼出于河蚌 兄原帖http://www.aswetalk.net/bbs/thread-38981-1-1.html）。
如果现在不考虑将来做数学研究，对于有天赋的孩子（如河蚌兄家），正如网友所说中学乃至大学（非数学专业高年级）的数学都不难理解，否则怎么应用呢？问题是这样的话，为了在初高中阶段竞赛中拉开档次，又不能超出初等数学的范围，就必须1. 题量要高，把做题慢或不熟练的刷下去；2.包括一些不寻常的题，把灵活性不够或见识少的刷下去。后面这样的题一般就是所谓难题。
这些难题对孩子的智力/能力/数学思维发展有没有用呢？我个人觉得在历史上有用，现在没多大用处。高斯 17边形就是很好的一例。在现代高等数学发展起来以前，在初等数学范围内这个基本上是智力的顶峰了，对于数学理论的发展也很有促进作用，但是现在有什么用呢？所谓奥数/国外的AMS之类我看都差不多，能够帮助挑出对数学研究有真正的天赋的人，更多的是（个人意见）给小孩子做智力游戏，比脑筋急转弯之类有意义，却难说是不是值得花这么大力气。再次同意四处张望 49 楼所说“初等数学钻得太深，高等数学就要花太多功夫转”及73楼”事实上我好多同学都感慨高等数学和初等数学的巨大差异，包括中学同学和大学同学，还都是学得好的那种。”
虽然如此，毕竟在国内的情况下，能够取得高分（包括竞赛）是非常关键的。那么针对以上两条，能训练的就是1.要快；2.要见得多。不光是数学，物理和化学也是这样。这方面各位网友提了很多好意见，比如tanis兄“初中数学要再加点儿分，稍稍多做题即可。”； 水风 兄25 楼；齐的隆冬强兄33 楼 “第一是解题的速度”等等都是一针见血。河蚌 兄的小孩也说“再给我两分数，就能写出来了，那样就能１４０了”也可以证明速度是关键。
可是这样一来孩子的时间精力怎么安排呢？河蚌 兄说 “初中没有奥赛，但题库之全，让人叹为观止。”怎样才能不把孩子的精力耗尽，时间占完呢？我觉得我们应该认识到大多数考题（即便是奥赛）都是孩子熟悉的，只需要尽量快速正确地解决。这个有两个方面：快速要求马上能想到思路，联想到以前的经验；正确就是不要出粗心和漏掉步骤的错误。在认真仔细做好课堂老师的基本要求之后（基础重要），利用题海战术做到前者的方法就是上面我建议的‘泛读’，但是大部分只要看过有把握会做即可，跳着步骤对一下答案好了。后者就是针对不能马上想清楚的题，要‘精读’。多花时间深入思考以求提高水平，开阔思路。但也没必要一定自己做出来（很难要花很多时间，没必要），认真想了对一对答案就好，下次差不多的不就会了吗。题海战术就是是见得多，以至于什么都见过。当然孩子举一反三的能力是要有的。
这个我觉得关键是找好平衡，否则就如 燕庐敕 兄 68 楼 所说“当年被老师批评的就是这种“眼勤手懒””。我个人算是燕庐敕 兄所批评的没找好平衡的例子。
以陈省身先生的意见，国内的大学生数学基础并不比国外的好，乃至于常有差距，我自己私心揣度就是指国内太注重‘术’（技巧）的熟练，相对忽视‘道’的理解（现代数学思维）。我觉得国内教育的弊端和唯分数论有不小关系。不过这个也许只是我的外行瞎猜罢了。不管怎样，现在国内就是这样的环境，其中的取舍的确要家长仔细平衡。在国外我的选择就是如前所述，不要孩子上数学班，不参加竞赛。这个是不是最好的选择就难说的很了，做父母的责任就是这样，河蚌兄想必正是为此操心吧。
本帖最后由 黑洞的颜色 于 2015-11-25 04:51 编辑
一点补充
关于以提高分数为目的的学习，与以提高数学思维及应用能力为目的的学习之间的不同之处，愚以为正如 冰蚁 兄 19楼 “分数和思维不等同啊。”现在国内的竞赛和考试正如 河蚌 兄 92楼所言“不允许用超纲的方法。比如初一时，不允许用相似三角形相关的定理。”对这一点，我完全同意晨枫94 楼所言 “这个我特别反对。数学本来就是条条大路通罗马的东西，这也是数学之美之所在，为什么一定要被大纲捆住呢？”
数学的发展，不论是理论还是应用，根本上都是基于对现有方法的突破。我觉得这是数学美的根本点，也是学习数学有利于提高创造性的原因。在我这个外行来看，数学的力量在于看到常识之外的联系。牛顿与微积分的创立及应用，拉格朗日方程式对牛顿力学的一般化（所以最难的中学力学题都变得小菜一碟）就是很好的例子。不允许用超纲的方法是和提高思维能力根本上冲突的，也是我最对多数竞赛反感的原因。美国中学教育也有类似的问题，只认标准的解题方法。我也只能告诉孩子要理解课纲要求的处发点，不必太在意分数。因为要求一定的解题方法毕竟是暂时性的也是少数情况。这一年级不许下一年级就可以了，有啥要紧，会了就行。
在国内高分起关键作用的情况下，只有题海战术了。目的就是达到 齐的隆冬强 兄33楼的要求。我的建议就是‘好读书不求甚解’，不要掉到tanis 兄41楼所说的陷阱里就好了。主要是要平衡，不要花过大的力气。如果不能达到奥数的顶点的话，我觉得同样的时间方法分到数理化三科里，都能达到相当高的分数。
很有真知灼见的探讨。 貌似@河蚌 同学没有看到呢。 Good. Thanks. 谢谢兄弟的总结 自己小时候上学不觉得怎么难也没有总结，但现在自己孩子学习各种费劲，真j是需要总结
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